O enunciado pede para, em cada item, estudar a posição relativa de duas retas em R^3. O conteúdo é geometria analítica espacial: para cada par de retas devemos
– extrair ou converter em forma paramétrica seus vetores diretores,
– verificar se são paralelas (vetores diretores colineares) ou não,
– se forem paralelas, checar se coincidem (um ponto de uma pertence à outra) ou são distintas,
– se não forem paralelas, resolver o sistema para ver se se intersectam (há solução) ou são reversas (sem solução).
Passo 2
Método geral para cada par de retas r e s:
Obter vr e um ponto Pr de r, e obter vs e um ponto Ps de s (convertendo equações em sistema em forma paramétrica).
Comparar vr e vs: se são proporcionais, as retas são paralelas; caso contrário, não são paralelas.
Se paralelas, testar se Pr satisfaz a parametrização de s; se sim, coincidem, senão, são paralelas distintas.
Se não paralelas, igualar as parametrizações e resolver para ver se existe par de parâmetros que torne iguais as coordenadas. Se houver, intersectam-se; senão, são reversas.
Passo 3
Item (a):
Reta
Reta dada por
Da primeira . Com vem
Aqui é paralelo a (mesma direção).
Passo 4
Continuando (a):
Para ver se coincidem, procuramos t tal que (9-2t,t,3-t)=(1,-1,1). Da primeira coordenada 9-2t=1Rightarrow t=4, mas então tneq -1, logo Prnotin s.
Conclusão (a): rparal<=l s e são distintas.
Passo 5
Item (b):
Reta
Subtract: . Com
Reta solução de
Da segunda . Logo . Com
Aqui e não são colineares, então não paralelas.
Passo 6
Continuando (b):
Igualando (1+lambda,-1,lambda)=(2+t,t,1+t) dá
1+lambda=2+t, -1=t, lambda=1+t
De t=-1 segue lambda=0 e 1+0=2-1, OK. Há solução única, ponto de interseção (1,-1,0).
Conclusão (b): r e s se intersectam em (1,-1,0).
Passo 7
Item (c):
Reta
Reta por
Da primeira . Com
Aqui e .
Passo 8
Continuando (c):
Como direções e pontos coincidem, r e s são a mesma reta.
Conclusão (c): requiv s.
Passo 9
Item (d):
Reta
Reta por
Da segunda . Com
Aqui e não são colineares, logo não são paralelas.
Passo 10
Continuando (d):
Igualando (2mu-1,mu,-mu)=l(tfrac1+5t3,tfrac2+4t3,tr)
leva a
6mu-3=1+5t,3mu-4t=2, -mu=t
Dessa última t=-mu. Substituindo nas outras, obtém-se contradição (não satisfaz).
Conclusão (d): r e s são reversas (não paralelas e sem interseção).
Resposta
(a) rparal<=l s, retas paralelas distintas.
(b) r e s se intersectam em (1,-1,0).
(c) requiv s, coincidentes.
(d) r e s são reversas (não se intersectam e não são paralelas).