Sejam
onde trrepresenta o traço de uma matriz. E
- Determine
, logo mostrar que eles são subespaços verificando as propriedades de subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
e
Pede-se encontrar
e
e depois mostrar que cada um é subespaço vetorial, verificando fechamento em soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Parametrizamos
e
:
Em , qualquer
Em
satisfaz , logo
. Assim
Em
, qualquer
satisfaz
. Chamando esse valor de
e o único livre de
de
,
Passo 3
Intersecção
: exigimos ambas as formas ao mesmo tempo. Igualando parâmetros,
,
,
e de
também
, vem
. Logo
Passo 4
Soma
: um elemento genérico é
Dada qualquer matriz
basta escolher
,
,
,
e
para ter
nessa forma. Logo
Passo 5
Verificação de subespaço para
:
- A matriz zero (caso
) pertence a . - Se
e
estão em, então
também está em
.
3. Para todo ,
3. Para todo
permanece em
.
Passo 6
Verificação de subespaço para
:
Como e este é subespaço de si mesmo, a soma também é subespaço. Alternativamente, se
com
,
, então
Como
pois
e
são subespaços.