Sejam
U=A in M2 times 2: tr(A)=0
onde trrepresenta o traço de uma matriz. E
W=[ll a & b c & d ] in M2 times 2: a=b=c
  1. Determine U cap W e U+W, logo mostrar que eles são subespaços verificando as propriedades de subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
e
Pede-se encontrar e e depois mostrar que cada um é subespaço vetorial, verificando fechamento em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Parametrizamos e :
Em , qualquer
satisfaz , logo . Assim
Em , qualquer
satisfaz . Chamando esse valor de e o único livre de de ,

Passo 3

Intersecção Ucap W: exigimos ambas as formas ao mesmo tempo. Igualando parâmetros, a=x, b=x, c=x e de d=-a também d=y, vem y=-x. Logo
Ucap W =lx & x x & -x:xinRr

Passo 4

Soma U+W: um elemento genérico é
a & b c & -a + x & x x & y = a+x & b+x c+x & -a+y
Dada qualquer matriz
M=p & q r & s,
basta escolher x=0, a=p, b=q, c=r e y=s+p para ter M nessa forma. Logo
U+W=M2times2

Passo 5

Verificação de subespaço para Ucap W:
  1. A matriz zero (caso x=0) pertence a Ucap W.
  2. Se
    X=x & x x & -x
    e
    X'=x' & x' x' & -x'
    estão em Ucap W, então
X+X'=x+x' & x+x' x+x' & -(x+x')
também está em Ucap W.
3. Para todo alphainR,
alpha X=alpha x & alpha x alpha x & -alpha x
permanece em Ucap W.

Passo 6

Verificação de subespaço para U+W:
Como U+W=M2times2 e este é subespaço de si mesmo, a soma também é subespaço. Alternativamente, se Xi=Ai+Bi com Aiin U, Biin W, então
X1+X2=(A1+A2)+(B1+B2)in U+W,
alpha X1=(alpha A1)+(alpha B1)in U+W,
pois U e W são subespaços.

Resposta

Ucap W=lx & x x & -x:xinRr.
U+W=M2times2.

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