A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano x^2k-3+y^22 k-10=1 :
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz essa equação ser uma elipse com os focos no eixo . Para isso, vamos revisar alguns conceitos de geometria analítica, como as condições para uma equação ser uma elipse e como determinar a orientação dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a equação represente realmente uma elipse. Uma equação da forma k - 3 > 0 e 2k - 10 > 0 representa uma elipse se ambos os denominadores k > 3 e 2k > 10 Rightarrow k > 5 e forem positivos. Então, temos:
Resolvendo essas desigualdades:
Portanto, para que a equação seja uma elipse, deve ser maior que 5.

Passo 3

Agora, queremos que os focos da elipse estejam no eixo 2k - 10 > k - 3 . Para isso, a maior dimensão (o “a²”) deve estar debaixo de 2k - 10 > k - 3 2k - k > -3 + 10 k > 7 . Ou seja, a segunda fração deve ter um denominador maior que o primeiro. Então:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, além de , precisamos que para garantir que os focos estejam no eixo .

Passo 4

Consolidando as condições:
  • Para ser uma elipse:
  • Para os focos estarem no eixo :
Portanto, a condição mais restritiva é .

Passo 5

Então, para que a equação dada represente uma elipse com os focos no eixo , o valor de deve ser maior que 7.

Resposta

O valor de deve ser maior que 7, ou seja, .

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