A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se: a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano
:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz essa equação ser uma elipse com os focos no eixo
. Para isso, vamos revisar alguns conceitos de geometria analítica, como as condições para uma equação ser uma elipse e como determinar a orientação dos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a equação represente realmente uma elipse. Uma equação da forma
representa uma elipse se ambos os denominadores
e
forem positivos. Então, temos:
Resolvendo essas desigualdades:
Portanto, para que a equação seja uma elipse,
deve ser maior que 5.
Passo 3
Agora, queremos que os focos da elipse estejam no eixo
. Para isso, a maior dimensão (o “a²”) deve estar debaixo de
. Ou seja, a segunda fração
deve ter um denominador maior que o primeiro. Então:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, além de
, precisamos que
para garantir que os focos estejam no eixo
.
Passo 4
Consolidando as condições:
- Para ser uma elipse:
- Para os focos estarem no eixo
:
Portanto, a condição mais restritiva é
.
Passo 5
Então, para que a equação dada represente uma elipse com os focos no eixo
, o valor de
deve ser maior que 7.
Resposta
O valor de
deve ser maior que 7, ou seja,
.