Determinar a equação reduzida da hipérbole com assíntotas 3 y= pm 2 x e vértices ( pm 9,0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre hipérboles. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que possui assíntotas dadas por e vértices em . Para isso, vamos usar o conceito de equação padrão da hipérbole, que relaciona os vértices e as assíntotas para determinar os parâmetros da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das assíntotas de forma mais simples. As assíntotas são y = 23x e y = -23x e . Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:
Essas são as equações das assíntotas da hipérbole.

Passo 3

Sabemos que, para uma hipérbole centrada na origem com eixo horizontal, as assíntotas têm a forma:
y = pm bax
Comparando com as assíntotas que encontramos, vemos que .

Passo 4

Os vértices da hipérbole estão em . No nosso caso, os vértices são , o que significa que .

Passo 5

Agora, usando a relação b = 23 times a = 23 times 9 = 6 e sabendo que , podemos encontrar :

Passo 6

Com os valores de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e x^281 - y^236 = 1 determinados, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole com eixo horizontal é:
Substituindo e , temos:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^281 - y^236 = 1

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