Determinar a equação reduzida da hipérbole com assíntotas
e vértices
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre hipérboles. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que possui assíntotas dadas por
e vértices em
. Para isso, vamos usar o conceito de equação padrão da hipérbole, que relaciona os vértices e as assíntotas para determinar os parâmetros da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das assíntotas de forma mais simples. As assíntotas são
e
. Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:
Essas são as equações das assíntotas da hipérbole.
Passo 3
Sabemos que, para uma hipérbole centrada na origem com eixo horizontal, as assíntotas têm a forma:
Comparando com as assíntotas que encontramos, vemos que
.
Passo 4
Os vértices da hipérbole estão em
. No nosso caso, os vértices são
, o que significa que
.
Passo 5
Agora, usando a relação
e sabendo que
, podemos encontrar
:
Passo 6
Com os valores de
e
determinados, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole com eixo horizontal é:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: