Calcule a distância entre:
as retas r: x=5, z=3 e s: X=(1,0,0)+t(5,-1,2), t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço, o que é um caso de retas possivelmente reversas. Vamos usar a fórmula
d = l|ABcdotl(utimesvr)r||utimesv|
onde u e v são vetores diretores de cada reta e A, B são pontos pertencentes a elas.

Passo 2

Identificamos um ponto e um vetor diretor para cada reta:
Reta r: ;x=5,;z=3.
Um ponto em r é A=(5,0,3) e o vetor diretor é u=(0,1,0) (pois y varia livremente).
Reta s: ;X=(1,0,0)+t(5,-1,2).
Um ponto em s é B=(1,0,0) e o vetor diretor é v=(5,-1,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial utimesv:
utimesv = i & j & k 0 & 1 & 0 5 & -1 & 2 = (1cdot2-0cdot(-1)),i-l(0cdot2-0cdot5r),j+(0cdot(-1)-1cdot5),k = (2,,0,,-5)
Seu módulo é
|utimesv| = raiz2^2+0^2+(-5)^2 = raiz29

Passo 4

Formamos o vetor que liga A a B:
AB = B - A = (1-5,;0-0,;0-3) = (-4,,0,,-3)

Passo 5

Agora o produto escalar ABcdot(utimesv):
ABcdot(2,0,-5) = (-4)cdot2 + 0cdot0 + (-3)cdot(-5) = -8 + 15 = 7
Tomando valor absoluto e aplicando na fórmula,
d = |7|raiz29 = 7raiz29

Resposta

boxedd = 7raiz29

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