Calcule a distância do segmento A B à reta s, nos casos:
(a) A=(1,1,0), B=(2,1,1), s: X=(-1-1,6)+lambda(1,4,3)
(b) A=(2,3,0), B=(-1,0,6), s: X=(0,-3,-1)+lambda(1,-1,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre um segmento AB e uma reta s no espaço. Para isso, parametrizamos
– o segmento:
P(t)=A+t, v, tin[0,1], v=B-A,
– a reta:
Q(mu)=P0+mu, d,muin R
A menor distância ocorre onde o vetor P(t)-Q(mu) é perpendicular a v e a d. Se a solução t^* sair de [0,1], o mínimo está em uma extremidade do segmento.

Passo 2

Caso (a):
A=(1,1,0), B=(2,1,1);Longrightarrow; v=(1,0,1),
s:;P0=(-1,-1,6),; d=(1,4,3)
Definimos w0=A-P0 e impomos
vcdotl( w0+t v-mu dr)=0, dcdotl( w0+t v-mu dr)=0

Passo 3

Calculando produtos escalar e resolvendo, obtém-se
t=2>1,
isto é, o pé da perpendicular à reta sai do segmento. Logo a menor distância é a de B até s:
d(B,s)=l|(P0-B)times dr|| d|

Passo 4

Aqui
P0-B=(-3,-2,5), d=(1,4,3)
(P0-B)times d=(-26,14,-10),|(P0-B)times d|=18raiz3, | d|=raiz26
Portanto
boxedd(a)=18raiz3raiz26=9raiz7813

Passo 5

Caso (b):
A=(2,3,0),;B=(-1,0,6);Longrightarrow; v=(-3,-3,6),
s:;P0=(0,-3,-1),; d=(1,-1,0)
Montamos o mesmo sistema de perpendicularidade para t e mu.

Passo 6

Dos produtos escalares surge
t=tfrac13in[0,1],mu=-2
Como t está no segmento, a distância mínima é a distância entre as duas retas, dada por
d=l|,(A-P0)cdot( vtimes d)r|| vtimes d|

Passo 7

Calculamos
vtimes d=6,(1,1,1),| vtimes d|=6raiz3, (A-P0)cdot( vtimes d)=54,
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boxedd(b)=546raiz3=9raiz3=3raiz3

Resposta

(a) 18raiz3raiz26=9raiz7813
(b) 3raiz3

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