Dado o conjunto A=(4,3,2),(0,3,2),(4,0,0) do R^3.
O conjunto A é LI ou LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
A = (4,3,2),,(0,3,2),,(4,0,0)
em R^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso usamos a definição: A é LI se a única solução do sistema
alpha(4,3,2)+beta(0,3,2)+gamma(4,0,0)=(0,0,0)
é alpha=beta=gamma=0. Caso contrário, é LD.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual a zero, temos
alpha(4,3,2)+beta(0,3,2)+gamma(4,0,0)=(0,0,0)
Isso gera o sistema de equações
4alpha + 0beta +4gamma =0, 3alpha +3beta +0gamma =0, 2alpha +2beta +0gamma =0

Passo 3

Simplificando cada equação:
4alpha +4gamma=0;Longrightarrow;alpha+gamma=0,
3alpha +3beta=0;Longrightarrow;alpha+beta=0,
2alpha +2beta=0;Longrightarrow;alpha+beta=0
Logo
beta=-alpha e gamma=-alpha,
de modo que, por exemplo, alpha=1, beta=-1, gamma=-1 satisfaz a combinação sem ser trivial.

Passo 4

Existindo solução não trivial para alpha,beta,gamma, o conjunto A é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente (LD).

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