Calcule a distância entre a reta r e o plano pi :
r: y=z=0 e pi: y+z=raiz2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre a reta r e o plano pi. A reta é dada por y=z=0 e o plano por y+z=raiz2. Estamos em geometria analítica espacial, e para resolver precisamos verificar a posição relativa entre reta e plano (se são paralelos, coincidentes ou se se cruzam) e usar a fórmula de distância ponto-plano.

Passo 2

Para trabalhar com vetores, escrevemos a reta em forma paramétrica. Como y=0 e z=0, um parâmetro tinR gera a reta:
r:; (x,y,z)=(t,0,0), tinR
O vetor direção da reta é v=(1,0,0). Já a equação do plano pi é
y+z-raiz2=0,
cujo vetor normal é n=(0,1,1).

Passo 3

Para ver se a reta é paralela ao plano, calculamos o produto escalar entre v e n:
vcdotn=1cdot0+0cdot1+0cdot1=0
Como o produto escalar é zero, o vetor direção da reta é ortogonal ao normal do plano, ou seja, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Escolhemos o ponto P0=(0,0,0), que pertence à reta (basta pôr t=0).

Passo 5

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0:
d=|A x0+B y0+C z0+D|raizA^2+B^2+C^2
Aqui temos A=0, B=1, C=1 e D=-raiz2, e o ponto P0=(0,0,0). Substituindo:
d=|0cdot0+1cdot0+1cdot0-raiz2|raiz0^2+1^2+1^2=raiz2raiz2=1

Resposta

1

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