Obtenha uma equação geral do plano que dista da reta é paralelo ao segmento de extremidades e .
Passo 1
O enunciado pede a equação geral de um plano π que (1) esteja a uma distância 1/ da reta e (2) seja paralelo ao segmento de extremidades e . Para resolver, vamos usar vetores diretores, produto vetorial para achar o normal do plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, extraímos os vetores diretores que definem a orientação do plano: (a) o vetor diretor de é , e (b) o vetor que indica a direção de é . Como o plano é paralelo tanto a r quanto a MN, ele deve conter esses dois vetores.
Passo 3
Para achar o vetor normal n do plano, fazemos o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano. Por exemplo,
n=MNtimes d =(-2,0,-3)times(0,1,2)=nabla i & j & k -2 & 0 & -3 0 & 1 & 2 =(3,4,-2)
Logo, a equação geral do plano tem a forma 3x+4y-2z+D=0, onde D é uma constante a determinar.
Passo 4
Para encontrar D, usamos a condição de distância entre a reta r e o plano. Como r é paralelo ao plano, a distância é a mesma para qualquer ponto de r. Tomamos o ponto P0=(1,1,3) da reta e aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano: