Obtenha uma equação geral do plano pi que dista 1 / raiz29 da reta r:(x, y, z)=(1,1,3)+lambda(0,1,2) e é paralelo ao segmento de extremidades M=(2,1,4) e N=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano π que (1) esteja a uma distância 1/ raiz29 da reta r:(x,y,z)=(1,1,3)+lambda(0,1,2) e (2) seja paralelo ao segmento de extremidades M=(2,1,4) e N=(0,1,1). Para resolver, vamos usar vetores diretores, produto vetorial para achar o normal do plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, extraímos os vetores diretores que definem a orientação do plano: (a) o vetor diretor de r é d=(0,1,2), e (b) o vetor que indica a direção de MN é MN=N-M=(0-2,,1-1,,1-4)=(-2,0,-3). Como o plano é paralelo tanto a r quanto a MN, ele deve conter esses dois vetores.

Passo 3

Para achar o vetor normal n do plano, fazemos o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano. Por exemplo,
n=MNtimes d =(-2,0,-3)times(0,1,2)=nabla i & j & k -2 & 0 & -3 0 & 1 & 2 =(3,4,-2)
Logo, a equação geral do plano tem a forma 3x+4y-2z+D=0, onde D é uma constante a determinar.

Passo 4

Para encontrar D, usamos a condição de distância entre a reta r e o plano. Como r é paralelo ao plano, a distância é a mesma para qualquer ponto de r. Tomamos o ponto P0=(1,1,3) da reta e aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano:
dist(P0,pi)=| ncdot P0 + D|| n| = |3cdot1 + 4cdot1 -2cdot3 + D|raiz3^2+4^2+(-2)^2 = |1 + D|raiz29
Igualando essa distância a 1/raiz29 obtemos
|1+D|raiz29 = 1raiz29 Longrightarrow |1+D|=1,
que dá as soluções 1+D=1 ou 1+D=-1, ou seja, D=0 ou D=-2.

Resposta

As equações gerais dos planos que satisfazem as condições são:
3x + 4y - 2z = 0
e
3x + 4y - 2z - 2 = 0

Exercícios relacionados