Esboce as elipses abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos e a excentricidade:
(1) 5 x^2+9 y^2=45
(2) 16 x^2+4 y^2=4
(3) 3 x^2+5 y^2=15
(4) 4 x^2+169 y^2=676

Passo 1

O enunciado pede para esboçar quatro elipses no plano cartesiano e, para cada uma, calcular a distância focal, as medidas dos eixos maior e menor, e a excentricidade. O conteúdo envolvido é a seção cônica “elipse”, e vamos precisar reescrever cada equação na forma padrão x^2a^2+y^2b^2=1, identificar os semieixos a e b, achar a distância focal c=raiza^2-b^2 e a excentricidade e=ca.

Passo 2

Para qualquer elipse centrada na origem na forma x^2a^2+y^2b^2=1 com a>= b>0:
  • Os pontos de interseção com os eixos são (pm a,0) e (0,pm b) (útil para esboço).
  • A distância focal satisfaz c=raiza^2-b^2, e as posições dos focos são (pm c,0) se o eixo maior for horizontal (ou (0,pm c) se for vertical).
  • A excentricidade é e=ca.
  • O comprimento do eixo maior é 2a e do eixo menor é 2b.

Passo 3

Para 5x^2+9y^2=45, dividimos por 45 e obtemos
x^29+y^25=1.
Aqui a^2=9, b^2=5, logo a=3, b=raiz5. O eixo maior é o horizontal, interceptos em (pm3,0) e (0,pmraiz5). Calculamos
c=raiza^2-b^2=raiz9-5=2
e
e=ca=23.

Passo 4

Para 16x^2+4y^2=4, dividimos por 4 e reescrevemos
4x^2+y^2=1
ou x^21+y^2tfrac14=1.
Então a^2=1, b^2=tfrac14, a=1, b=tfrac12. Eixo maior horizontal, interceptos (pm1,0) e (0,pm0,5). Foco em
c=raiz1-tfrac14=tfracraiz32
e excentricidade
e=tfracraiz3/21=tfracraiz32.

Passo 5

Para 3x^2+5y^2=15, dividimos por 15 e achamos
x^25+y^23=1.
Temos a^2=5, b^2=3, logo a=raiz5, b=raiz3. Eixo maior horizontal, interceptos (pmraiz5,0) e (0,pmraiz3). Foco:
c=raiz5-3=raiz2
e
e=tfracraiz2raiz5=raiztfrac25.

Passo 6

Para 4x^2+169y^2=676, dividimos por 676:
x^2169+y^24=1.
Assim a^2=169, b^2=4, a=13, b=2. Eixo maior horizontal, interceptos (pm13,0) e (0,pm2). Foco:
c=raiz169-4=raiz165
e
e=tfracraiz16513.

Resposta

Elipse (1): a=3, b=√5, 2a=6, 2b=2√5, c=2, e=2/3.
Elipse (2): a=1, b=1/2, 2a=2, 2b=1, c=√3/2, e=√3/2.
Elipse (3): a=√5, b=√3, 2a=2√5, 2b=2√3, c=√2, e=√(2/5).
Elipse (4): a=13, b=2, 2a=26, 2b=4, c=√165, e=√165/13.

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