Esboce as elipses abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos e a excentricidade:
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar quatro elipses no plano cartesiano e, para cada uma, calcular a distância focal, as medidas dos eixos maior e menor, e a excentricidade. O conteúdo envolvido é a seção cônica “elipse”, e vamos precisar reescrever cada equação na forma padrão
, identificar os semieixos
e
, achar a distância focal
e a excentricidade
.
Passo 2
Para qualquer elipse centrada na origem na forma
com
:
- Os pontos de interseção com os eixos são
e (útil para esboço). - A distância focal satisfaz
, e as posições dos focos são se o eixo maior for horizontal (ou se for vertical). - A excentricidade é
. - O comprimento do eixo maior é
e do eixo menor é .
Passo 3
Para
, dividimos por 45 e obtemos
.
Aqui ,
, logo
,
. O eixo maior é o horizontal, interceptos em
e
. Calculamos
e
.
Aqui
e
Passo 4
Para
, dividimos por 4 e reescrevemos
ou .
Então ,
,
,
. Eixo maior horizontal, interceptos
e
. Foco em
e excentricidade
.
ou
Então
e excentricidade
Passo 5
Para
, dividimos por 15 e achamos
.
Temos ,
, logo
,
. Eixo maior horizontal, interceptos
e
. Foco:
e
.
Temos
e
Passo 6
Para
, dividimos por 676:
.
Assim ,
,
,
. Eixo maior horizontal, interceptos
e
. Foco:
e
.
Assim
e
Resposta
Elipse (1): a=3, b=√5, 2a=6, 2b=2√5, c=2, e=2/3.
Elipse (2): a=1, b=1/2, 2a=2, 2b=1, c=√3/2, e=√3/2.
Elipse (3): a=√5, b=√3, 2a=2√5, 2b=2√3, c=√2, e=√(2/5).
Elipse (4): a=13, b=2, 2a=26, 2b=4, c=√165, e=√165/13.
Elipse (2): a=1, b=1/2, 2a=2, 2b=1, c=√3/2, e=√3/2.
Elipse (3): a=√5, b=√3, 2a=2√5, 2b=2√3, c=√2, e=√(2/5).
Elipse (4): a=13, b=2, 2a=26, 2b=4, c=√165, e=√165/13.