Calcule a distância entre a reta r: X=(0,2,2)+lambda(1,-1,0) e o plano pi: 2 x+2 y+z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a distância entre uma reta r e um plano pi . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem vetores e equações de planos e retas. Vamos precisar entender como encontrar a distância de um ponto a um plano e verificar se a reta é paralela ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da reta r : X = (0,2,2) + lambda(1,-1,0) . Aqui, (0,2,2) é um ponto que está na reta, e (1,-1,0) é o vetor diretor da reta. O parâmetro lambda permite traçar todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vejamos a equação do plano pi : 2x + 2y + z + 3 = 0 . Essa é a forma geral da equação de um plano, onde (2, 2, 1) é o vetor normal ao plano. O vetor normal é importante porque nos ajuda a determinar a orientação do plano no espaço.

Passo 4

Para calcular a distância entre a reta e o plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Uma reta é paralela a um plano se o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano for zero. Vamos calcular isso:
(1, -1, 0) cdot (2, 2, 1) = (1 times 2) + (-1 times 2) + (0 times 1) = 2 - 2 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.

Passo 5

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vamos escolher o ponto P(0, 2, 2) da reta para fazer esse cálculo.

Passo 6

A fórmula para a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Vamos aplicar essa fórmula com o ponto P(0, 2, 2) e o plano 2x + 2y + z + 3 = 0 .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
D = |2 times 0 + 2 times 2 + 1 times 2 + 3|raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = |0 + 4 + 2 + 3|raiz4 + 4 + 1 = |9|raiz9 = 93 = 3

Resposta

A distância entre a reta r e o plano pi é 3 unidades.

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