Calcule a distância entre a reta
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a distância entre uma reta
e um plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem vetores e equações de planos e retas. Vamos precisar entender como encontrar a distância de um ponto a um plano e verificar se a reta é paralela ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação da reta
:
. Aqui,
é um ponto que está na reta, e
é o vetor diretor da reta. O parâmetro
permite traçar todos os pontos da reta.
Passo 3
Agora, vejamos a equação do plano
:
. Essa é a forma geral da equação de um plano, onde
é o vetor normal ao plano. O vetor normal é importante porque nos ajuda a determinar a orientação do plano no espaço.
Passo 4
Para calcular a distância entre a reta e o plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Uma reta é paralela a um plano se o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano for zero. Vamos calcular isso:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.
Passo 5
Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vamos escolher o ponto
da reta para fazer esse cálculo.
Passo 6
A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Vamos aplicar essa fórmula com o ponto
e o plano
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A distância entre a reta
e o plano
é 3 unidades.