Dados os vetores u=(2,5,-3), v=(1,4,7) e w=(-2,0,6). Determine o produto misto (u, v, w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra vetorial! A gente tem três vetores: u = (2, 5, -3), v = (1, 4, 7) e w = (-2, 0, 6). A questão pede para a gente calcular o produto misto desses vetores, que é uma forma de combinar esses três vetores em um único número.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto, também conhecido como produto escalar triplo, é calculado tomando o determinante de uma matriz 3x3 formada pelos componentes dos três vetores. Isso nos dá um número que pode nos dizer, por exemplo, o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como suas linhas:
2 & 5 & -3 1 & 4 & 7 -2 & 0 & 6

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Determinante = 2 times 4 times 6 + 5 times 7 times (-2) + (-3) times 1 times 0 - (-3) times 4 times (-2) - 5 times 1 times 6 - 2 times 7 times 0

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
2 times 4 times 6 = 48
5 times 7 times (-2) = -70
(-3) times 1 times 0 = 0
- [(-3) times 4 times (-2)] = -24
- [5 times 1 times 6] = -30
- [2 times 7 times 0] = 0

Passo 6

Somando todos os termos:
48 - 70 + 0 - 24 - 30 + 0 = -76

Resposta

O produto misto (u, v, w) é igual a -76.

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