Seja a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Calcule o posto da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com matrizes e vetores no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar o posto da matriz , que é basicamente descobrir quantas colunas de são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar organizar a matriz e usar algumas técnicas de eliminação para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz usando os vetores fornecidos como colunas. Os vetores são:
Então, a matriz A fica assim:
A = 1 & 0 & 4 & 0 1 & 1 & -1 & 5 0 & 1 & -5 & 5
Passo 3
Agora, vamos transformar essa matriz A em uma forma escalonada usando operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas são independentes.
Primeiro, garantimos que o primeiro elemento (chamado de pivô) da primeira linha seja 1, o que já está feito. Então, vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Por fim, vamos analisar a terceira coluna. Já que a terceira linha virou toda zero, não precisamos mais fazer operações. Nossa matriz está agora na forma escalonada:
A = 1 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & -5 & 5 0 & 0 & 0 & 0
Passo 6
O posto da matriz é o número de linhas não nulas na forma escalonada, ou seja, o número de pivôs. Aqui, temos dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Portanto, o posto da matriz A é 2.