Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-1,-5), V4=(0,5,5)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Calcule o posto da matriz A.
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com matrizes e vetores no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar o posto da matriz A , que é basicamente descobrir quantas colunas de A são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar organizar a matriz e usar algumas técnicas de eliminação para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A usando os vetores fornecidos como colunas. Os vetores são:
V1 = 1 1 0 , V2 = 0 1 1 , V3 = 4 -1 -5 , V4 = 0 5 5
Então, a matriz A fica assim:
A = 1 & 0 & 4 & 0 1 & 1 & -1 & 5 0 & 1 & -5 & 5

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz A em uma forma escalonada usando operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas são independentes.
Primeiro, garantimos que o primeiro elemento (chamado de pivô) da primeira linha seja 1, o que já está feito. Então, vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R1 Rightarrow 1 & 1 & -1 & 5 - 1 & 0 & 4 & 0 = 0 & 1 & -5 & 5
A matriz fica:
A = 1 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & -5 & 5 0 & 1 & -5 & 5

Passo 4

Agora, vamos tratar da segunda coluna. Já temos um pivô 1 na segunda linha, segunda coluna. Vamos zerar o elemento abaixo dele.
Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - R2 Rightarrow 0 & 1 & -5 & 5 - 0 & 1 & -5 & 5 = 0 & 0 & 0 & 0
A matriz agora fica:
A = 1 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & -5 & 5 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Por fim, vamos analisar a terceira coluna. Já que a terceira linha virou toda zero, não precisamos mais fazer operações. Nossa matriz está agora na forma escalonada:
A = 1 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & -5 & 5 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

O posto da matriz é o número de linhas não nulas na forma escalonada, ou seja, o número de pivôs. Aqui, temos dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Portanto, o posto da matriz A é 2.

Resposta

O posto da matriz A é 2.

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