Calcule a distância entre as retas:
e )

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em R^3:
r definida por
y = 2x - 3, z = -x + 5
e s definida por
y = -3x + 7, z = x + 1
O conteúdo é posicionamento de retas no espaço: primeiro vamos parametrizar cada reta, depois verificar se são paralelas, concorrentes (se intersectam) ou reversas (geralmente chamadas “retilíneas reversas”). Se elas se intersectam, a distância é zero; caso contrário, usaríamos a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Parametrizamos cada reta usando o próprio x como parâmetro. Para r, seja
x = t, y = 2t - 3, z = -t + 5,
logo um ponto genérico em r é
R(t) = (t,;2t-3,;-t+5)
Para s, seja
x = u, y = -3u + 7, z = u + 1,
logo um ponto genérico em s é
S(u) = (u,;-3u+7,;u+1)

Passo 3

Extraímos um vetor diretor e um ponto para cada reta.
Para r, tomando t=0 como ponto inicial,
Pr = R(0) = (0,,-3,;5), vec dr = dRdt = (1,;2,;-1)
Para s, tomando u=0,
Ps = S(0) = (0,;7,;1), vec ds = dSdu = (1,;-3,;1)

Passo 4

Verificamos se as retas são paralelas calculando se vec dr é múltiplo escalar de vec ds.
vec dr = (1,2,-1), vec ds = (1,-3,1)
Não existe lambda tal que (1,2,-1)=lambda(1,-3,1), pois isso exigiria 2=-3lambda e -1=lambda, o que não coincide. Logo, não são paralelas.

Passo 5

Procuramos se há interseção resolvendo
R(t) = S(u),
isto é,
(t,;2t-3,;-t+5) = (u,;-3u+7,;u+1)
Da igualdade das primeiras coordenadas vem t = u. Substituindo em
2t - 3 = -3t + 7
obtém-se 5t = 10, ou seja t = 2. Então u = 2. Verificando a terceira coordenada:
-t + 5 = -2 + 5 = 3, u + 1 = 2 + 1 = 3,
concorda. Portanto as retas se intersectam no ponto
P = R(2) = (2,;1,;3)

Passo 6

Como as retas se intersectam em P, a distância entre elas é
boxed0

Resposta

A distância entre r e s é 0.

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