Calcule a distância entre as retas:
e
)
Passo 1
O enunciado pede a distância entre duas retas em
:
r definida por
r definida por
e s definida por
O conteúdo é posicionamento de retas no espaço: primeiro vamos parametrizar cada reta, depois verificar se são paralelas, concorrentes (se intersectam) ou reversas (geralmente chamadas “retilíneas reversas”). Se elas se intersectam, a distância é zero; caso contrário, usaríamos a fórmula da distância entre retas reversas.
Passo 2
Parametrizamos cada reta usando o próprio
como parâmetro. Para r, seja
logo um ponto genérico em r é
Para s, seja
logo um ponto genérico em s é
Passo 3
Extraímos um vetor diretor e um ponto para cada reta.
Para r, tomando como ponto inicial,
Para r, tomando
Para s, tomando
,
Passo 4
Verificamos se as retas são paralelas calculando se
é múltiplo escalar de
.
Não existe
tal que
, pois isso exigiria
e
, o que não coincide. Logo, não são paralelas.
Passo 5
Procuramos se há interseção resolvendo
isto é,
Da igualdade das primeiras coordenadas vem
. Substituindo em
obtém-se
, ou seja
. Então
. Verificando a terceira coordenada:
concorda. Portanto as retas se intersectam no ponto
Passo 6
Como as retas se intersectam em
, a distância entre elas é
Resposta
A distância entre
e
é
.