Determine a posição relativa entre as retas:
e )

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 por equações paramétricas
r: x = 2 + m, y = 3 + 2m, z = 1 - 2m, s: x = 5 - 3m', y = 2 - 6m', z = 2 + 6m',
e pede a posição relativa entre elas (se se intersectam, são paralelas coincidentes ou paralelas distintas). Para isso, vamos extrair os vetores diretores, verificar se são colineares e, em caso afirmativo, checar se há um ponto comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta a partir dos coeficientes dos parâmetros:
vec vr = (1,,2,,-2), vec vs = (-3,,-6,,6)

Passo 3

Verificamos se vec vs é múltiplo escalar de vec vr. Basta notar que
(-3,,-6,,6) = -3,(1,,2,,-2)
Logo vec vs = -3,vec vr, o que implica que as retas são paralelas (seus diretores são colineares).

Passo 4

Para decidir se são coincidentes ou apenas paralelas distintas, testamos se algum ponto de
Procuramos tal que , isto é,
Da primeira equação vem . Não há que satisfaça todas as equações simultaneamente, portanto não pertence a .

Passo 5

Concluímos que, embora sejam paralelas (vetores diretores colineares), não se interceptam nem coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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