Calcule a distância entre as retas:
r & (0,1,0)+t(1,1,2) s & : & (0,0,1)+t^prime(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço, o que é um problema clássico de geometria analítica em R^3.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância entre retas reversas (skew):
d ;=;l|(p2 - p1)cdot (vr times vs)r||,vr times vs|,
onde p1 e p2 são pontos quaisquer em cada reta, e vr, vs são os vetores diretores.

Passo 2

Escolhemos
p1 = (0,1,0), vr = (1,1,2)
para a reta r, e
p2 = (0,0,1), vs = (1,1,0)
para a reta s.

Passo 3

Primeiro, verificamos que as retas não são paralelas nem se intersectam, logo são reversas.
  • Cálculo do produto vetorial: vr times vs = det i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 1 & 0 =(-2,,2,,0) Como vrtimes vsneq(0,0,0), as direções não são paralelas.
  • Se houvesse interseção, existiriam t,t' tais que
    (t,,1+t,,2t)=(t',,t',,1).
    Da terceira coordenada vem 2t=1implies t=tfrac12, mas daí 1+t=tfrac32neq t'=tfrac12.
    Logo não há solução comum, confirmando que são retas reversas.

Passo 4

Calculamos o módulo de n = vrtimes vs:
|n| = raiz(-2)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Formamos o vetor entre os pontos escolhidos e aplicamos a fórmula:
p2 - p1 = (0,0,1) - (0,1,0) = (0,-1,1),
l|(p2 - p1)cdot nr| = l|(0,-1,1)cdot(-2,2,0)r| = |,0 -2 + 0,| = 2
Portanto,
d = 22raiz2 = 1raiz2

Resposta

A distância entre r e s é 1raiz2.

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