Considere T uma função de R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-y+2 z, 2 x,-x-2 y+2 z)
Verifique que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - y + 2z,;2x,;-x -2y +2z,)
é linear. Em Álgebra Linear, uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. aditividad e 2) homogeneidade.

Passo 2

Para verificar a aditividade, tomamos dois vetores arbitrários
u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3. Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,)
e
T(u+v) = l((x1+x2)-(y1+y2)+2(z1+z2),;2(x1+x2),;-(x1+x2)-2(y1+y2)+2(z1+z2)r)
Reagrupando os termos em cada componente, isso fica
(,(x1-y1+2z1)+(x2-y2+2z2),;2x1+2x2,;(-x1-2y1+2z1)+(-x2-2y2+2z2)r),
que é exatamente
l(x1-y1+2z1,;2x1,;-x1-2y1+2z1r) + l(x2-y2+2z2,;2x2,;-x2-2y2+2z2r) = T(u)+T(v)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Para verificar a homogeneidade, seja alphainR e u=(x,y,z). Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
e
T(alpha u) = l(alpha x-alpha y+2alpha z,;2alpha x,;-alpha x-2alpha y+2alpha zr)
Fatorando alpha em cada componente, obtemos
(alpha(x-y+2z),;alphacdot 2x,;alpha(-x-2y+2z)) = alpha,(x-y+2z,;2x,;-x-2y+2z) = alpha,T(u)
Logo T(alpha u)=alpha,T(u).

Passo 4

Como mostramos que T preserva soma de vetores e produto por escalar, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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