Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.
2 z=4 y-x, 3 x-12 y+6 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se dois planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. Se não forem nem paralelos nem perpendiculares, a gente também precisa calcular o ângulo que eles formam. Para isso, vamos precisar trabalhar com as equações dos planos e entender um pouquinho sobre vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações dos planos na forma padrão, que é Ax + By + Cz + D = 0 . Assim fica mais fácil identificar os coeficientes que representam os vetores normais.
Para o primeiro plano:
2z = 4y - x
Vamos rearranjar:
x - 4y + 2z = 0
Para o segundo plano:
3x - 12y + 6z = 1
Já está na forma padrão.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é formado pelos coeficientes de x , y e z na equação do plano.
  • Para o primeiro plano x - 4y + 2z = 0 , o vetor normal é n1 = (1, -4, 2) .
  • Para o segundo plano 3x - 12y + 6z = 1 , o vetor normal é n2 = (3, -12, 6) .

Passo 4

Vamos verificar se os vetores normais são proporcionais. Se forem, isso significa que os planos são paralelos.
Se multiplicarmos n1 por 3, temos:
3 times (1, -4, 2) = (3, -12, 6)
Que é exatamente n2 .

Passo 5

Como n2 = 3 times n1 , os vetores normais são proporcionais. Isso quer dizer que os planos são paralelos. Quando os vetores normais são proporcionais, os planos não se encontram em nenhum ponto, a menos que sejam coincidentes.

Resposta

Os planos são paralelos.

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