Calcule a distância entre as retas:
r:(x, y, z)=(2,1,0)+t(1,-1,1) \text { e } s:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=1+2 t \\\ z=-2-3 t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r: (x,y,z) = (2,1,0) + t\,(1,-1,1)
e
s:\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = 1 + 2t,\\\ z = -2 -3t. \end{cases}
Isso envolve retas possivelmente reversas (ou “skew”) no espaço. Para calcular essa distância, usaremos a fórmula
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|},
onde \mathbf{u} e \mathbf{v} são os vetores diretores de r e s, e \overrightarrow{PQ} é o vetor que liga um ponto P em r a um ponto Q em s.

Passo 2

Identificamos em r o ponto P=(2,1,0) e o vetor diretor
\mathbf{u} = (1,-1,1).
Em s, para t=0 temos o ponto Q=(1,1,-2) e o vetor diretor
\mathbf{v} = (1,2,-3).
Calculamos também
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (1-2,\;1-1,\;-2-0) = (-1,0,-2).

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \bigl((-1)(-3)-1\cdot2,\;-\bigl(1\cdot(-3)-1\cdot1\bigr),\;1\cdot2-(-1)\cdot1\bigr).
Isso dá
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (3-2,\;-(-3-1),\;2-(-1)) = (1,4,3).
Seu módulo é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{26}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = (-1)\cdot1 + 0\cdot4 + (-2)\cdot3 = -1 - 6 = -7.
O valor absoluto é \bigl|{-7}\bigr|=7.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância entre retas:
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|} = \frac{7}{\sqrt{26}}.

Resposta

A distância entre as retas é
\frac{7}{\sqrt{26}}.

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