Sejam r e s retas dadas por
r: x+3=-y+4=\frac{z+3}{2} \text { e } s:\left\{\begin{array}{l} x=-4-t \\\ y=2 \\\ z=-5-2 t \end{array} .\right.
a) Determine a posição relativa entre as retas r e s.
b) Determine o ponto de interseção entre elas.
c) Determine a equação do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb R^3: r em forma simétrica e s em forma paramétrica. Pede-se a posição relativa entre elas (se são paralelas, concorrentes ou reversas), o ponto de interseção (se existir) e a equação do plano que as contém. Vamos parametrizar r, extrair vetores diretores e pontos de passagem, resolver o sistema para verificar interseção e, finalmente, obter o plano pelo produto vetorial dos diretores.

Passo 2

Parametrizamos r\) definindo \[x+3 = t,\quad -y+4 = t,\quad \frac{z+3}{2} = t.
Dessa forma,
\begin{cases} x = t - 3,\\\ y = 4 - t,\\\ z = 2t - 3, \end{cases}
logo um ponto em r\] é \[A = (-3,4,-3) e o vetor diretor é \vec v_r = (1,-1,2).
Para s temos, com parâmetro u,
\begin{cases} x = -4 - u,\\\ y = 2,\\\ z = -5 - 2u, \end{cases}
então um ponto em s\] é \(B = (-4,2,-5) e o vetor diretor é \vec v_s = (-1,0,-2).

Passo 3

Para ver se r\) e \(s\) se intersectam, igualamos as coordenadas: \[\begin{cases} t - 3 = -4 - u,\\\\ 4 - t = 2,\\\\ 2t - 3 = -5 - 2u. \end{cases}
Da segunda equação vem t=2\]. Substituindo em \(t - 3 = -4 - u 2-3 = -4 - u, isto é, u=-3. A terceira equação confirma essa solução, pois
2\cdot 2 - 3 = 1 \quad\text{e}\quad -5 -2(-3) = 1.
Logo há interseção, ou seja, as retas são concorrentes.

Passo 4

O ponto de interseção P obtém-se em r para t=2:
x = 2-3 = -1,\quad y = 4-2 = 2,\quad z = 2\cdot2 -3 = 1.
Assim,
P = (-1,2,1).

Passo 5

O plano que contém r e s tem normal dado por \vec n = \vec v_r \times \vec v_s. Calculando
\vec n = (1,-1,2)\times(-1,0,-2) = (2,0,-1).
Como o plano passa por P, sua equação vetorial é \vec n\cdot((x,y,z)-P)=0, isto é,
2(x+1)+0\,(y-2)-1(z-1)=0.
Simplificando, chega-se a
2x - z + 3 = 0.

Resposta

(a) As retas r e s são concorrentes (intersectam-se).
(b) O ponto de interseção é P = (-1,2,1).
(c) A equação do plano que as contém é
2x - z + 3 = 0.

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