Julgue a veracidade das afirmações abaixo,assinalando V para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) Existe um plano que contém os pontos A=(1,0,-1), B=(0,2,3), C=(-2,1,1) e D=(4,2,3).
b) ( ) O triângulo formado pelos pontos P_{1}=(1,0,-1), P_{2}=(2,-1,-3) e P_{3}=(7,0,2) é retângulo em P_{1}.
c) ( ) Se \vec{u} é um vetor ortogonal a \vec{v} e \vec{w}, sabendo que \vec{v} e \vec{w} formam um ângulo de 30^{\circ} entre si e, tendo em vista que \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=4 e \|\vec{w}\|=6, então \langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle=24.
d) ( ) Sejam u e v vetores, com ângulo entre si medindo \theta=\frac{\pi}{6} e tais que \langle u, v\rangle=2. A área do triângulo formado pelos vetores é \sqrt{3}.
e) ( ) Se \|u \times v\|=8 e \|v\|=6, então \|(v \times u)-v\|=0.

Passo 1

O enunciado pede para julgar verdadeiro ou falso cinco afirmações envolvendo vetores em \mathbb{R}^3. Vamos usar estes conteúdos:
  1. Produto triplo escalar para verificar coplanaridade.
  2. Produto escalar para testar ângulo reto.
  3. Produto vetorial e escalar para o triplo escalar.
  4. Relação entre produto escalar, ângulo e produto vetorial para área de triângulo.
  5. Propriedade anticomutativa do produto vetorial.

Passo 2

Para (a) testamos se A,B,C,D são coplanares calculando o produto triplo escalar de \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}. Temos
\overrightarrow{AB} = (-1,2,4),\quad \overrightarrow{AC} = (-3,1,2),\quad \overrightarrow{AD} = (3,2,4).
Calculando (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD} obtemos zero, logo os quatro pontos são coplanares. A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para (b) verificamos se o ângulo em P_1 é reto, vendo se
\langle \overrightarrow{P_1P_2},\,\overrightarrow{P_1P_3}\rangle=0. Como
\overrightarrow{P_1P_2}=(1,-1,-2) e \overrightarrow{P_1P_3}=(6,0,3),
temos
1\cdot6 + (-1)\cdot0 + (-2)\cdot3 = 6 - 6 = 0,
portanto é retângulo em P_1. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Para (c) usamos que \langle \vec u,\,\vec v\times\vec w\rangle em módulo vale
\|\vec u\|\|\vec v\|\|\vec w\|\sin\theta se \vec u\perp\vec v,\vec w. Como \theta=30^\circ, \|\vec u\|=2, \|\vec v\|=4, \|\vec w\|=6,
\|\vec v\times\vec w\| = 4\cdot6\cdot\sin30^\circ =12,
e como \vec u está no mesmo eixo de \vec v\times\vec w,
\langle\vec u,\,\vec v\times\vec w\rangle = \|\vec u\|\|\vec v\times\vec w\| = 2\cdot12 = 24.
A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Para (d) a área do triângulo gerado por \vec u e \vec v é
\tfrac12\|\vec u\times\vec v\|. Sabemos \langle u,v\rangle=2 e o ângulo \theta=\pi/6, ou seja
\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta = 2 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec u\|\|\vec v\| = \frac{2}{\cos(\pi/6)} = \frac{2}{\sqrt3/2} = \frac{4}{\sqrt3}.
Então
\|\vec u\times\vec v\| = \|\vec u\|\|\vec v\|\sin\theta = \frac{4}{\sqrt3}\cdot\frac12 = \frac{2}{\sqrt3},
e a área do triângulo é
\tfrac12\|\vec u\times\vec v\| = \tfrac1{\sqrt3}, não \sqrt3. A afirmação é falsa.

Passo 6

Para (e) usamos \vec v\times\vec u = -(\vec u\times\vec v), mas então
(\vec v\times\vec u)-\vec v = -(\vec u\times\vec v)-\vec v,
cuja norma em geral não é zero. Não há cancelamento que force o vetor a ser nulo. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) F

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