Julgue a veracidade das afirmações abaixo,assinalando V para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) Existe um plano que contém os pontos A=(1,0,-1), B=(0,2,3), C=(-2,1,1) e D=(4,2,3).
b) ( ) O triângulo formado pelos pontos P_{1}=(1,0,-1), P_{2}=(2,-1,-3) e P_{3}=(7,0,2) é retângulo em P_{1}.
c) ( ) Se \vec{u} é um vetor ortogonal a \vec{v} e \vec{w}, sabendo que \vec{v} e \vec{w} formam um ângulo de 30^{\circ} entre si e, tendo em vista que \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=4 e \|\vec{w}\|=6, então \langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle=24.
d) ( ) Sejam u e v vetores, com ângulo entre si medindo \theta=\frac{\pi}{6} e tais que \langle u, v\rangle=2. A área do triângulo formado pelos vetores é \sqrt{3}.
e) ( ) Se \|u \times v\|=8 e \|v\|=6, então \|(v \times u)-v\|=0.
Passo 1
O enunciado pede para julgar verdadeiro ou falso cinco afirmações envolvendo vetores em \mathbb{R}^3. Vamos usar estes conteúdos:
Produto triplo escalar para verificar coplanaridade.
Produto escalar para testar ângulo reto.
Produto vetorial e escalar para o triplo escalar.
Relação entre produto escalar, ângulo e produto vetorial para área de triângulo.
Propriedade anticomutativa do produto vetorial.
Passo 2
Para (a) testamos se A,B,C,D são coplanares calculando o produto triplo escalar de \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}. Temos
Calculando (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD} obtemos zero, logo os quatro pontos são coplanares. A afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para (b) verificamos se o ângulo em P_1 é reto, vendo se \langle \overrightarrow{P_1P_2},\,\overrightarrow{P_1P_3}\rangle=0. Como \overrightarrow{P_1P_2}=(1,-1,-2) e \overrightarrow{P_1P_3}=(6,0,3),
temos
1\cdot6 + (-1)\cdot0 + (-2)\cdot3 = 6 - 6 = 0,
portanto é retângulo em P_1. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Para (c) usamos que \langle \vec u,\,\vec v\times\vec w\rangle em módulo vale \|\vec u\|\|\vec v\|\|\vec w\|\sin\theta se \vec u\perp\vec v,\vec w. Como \theta=30^\circ, \|\vec u\|=2, \|\vec v\|=4, \|\vec w\|=6,
Para (d) a área do triângulo gerado por \vec u e \vec v é \tfrac12\|\vec u\times\vec v\|. Sabemos \langle u,v\rangle=2 e o ângulo \theta=\pi/6, ou seja
e a área do triângulo é \tfrac12\|\vec u\times\vec v\| = \tfrac1{\sqrt3}, não \sqrt3. A afirmação é falsa.
Passo 6
Para (e) usamos \vec v\times\vec u = -(\vec u\times\vec v), mas então (\vec v\times\vec u)-\vec v = -(\vec u\times\vec v)-\vec v,
cuja norma em geral não é zero. Não há cancelamento que force o vetor a ser nulo. A afirmação é falsa.