Sejam r e s retas dadas por r:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\\ y=0 \\\ z=2-t\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=8+t \\\ z=1-t\end{array}\right..
a) Verifique que as retas r e s são reversas.
b) Determine um plano \alpha contendo r e um plano \beta contendo s, de modo que \alpha e \beta sejam paralelos.
c) Calcule a distância entre r e s.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3\) em forma paramétrica: \(r: \begin{cases}x=-1+2t\y=0\z=2-t\end{cases} e s: \begin{cases}x=3\y=8+u\z=1-u\end{cases}.
(a) Precisamos mostrar que elas são reversas (isto é, não são paralelas nem se intersectam).
(b) Precisamos encontrar um plano \alpha que contenha r e um plano \beta que contenha s, de modo que \alpha\parallel\beta.
(c) Finalmente, calcular a distância entre r e s.
Passo 2
Extraímos as direções e verificamos paralelismo e interseção.
A direção de r\) é
\[v_r = (2,0,-1),
e a direção de s é
v_s = (0,1,-1).
Como v_r não é múltiplo escalar de v_s, as retas não são paralelas.
Para checar interseção, igualamos coordenadas: