Sejam r e s retas dadas por r:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\\ y=0 \\\ z=2-t\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=8+t \\\ z=1-t\end{array}\right..
a) Verifique que as retas r e s são reversas.
b) Determine um plano \alpha contendo r e um plano \beta contendo s, de modo que \alpha e \beta sejam paralelos.
c) Calcule a distância entre r e s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3\) em forma paramétrica: \(r: \begin{cases}x=-1+2t\y=0\z=2-t\end{cases} e s: \begin{cases}x=3\y=8+u\z=1-u\end{cases}.
(a) Precisamos mostrar que elas são reversas (isto é, não são paralelas nem se intersectam).
(b) Precisamos encontrar um plano \alpha que contenha r e um plano \beta que contenha s, de modo que \alpha\parallel\beta.
(c) Finalmente, calcular a distância entre r e s.

Passo 2

Extraímos as direções e verificamos paralelismo e interseção.
A direção de r\) é \[v_r = (2,0,-1),
e a direção de s é
v_s = (0,1,-1).
Como v_r não é múltiplo escalar de v_s, as retas não são paralelas.
Para checar interseção, igualamos coordenadas:
\begin{cases} -1+2t = 3,\\\\ 0 = 8+u,\\\\ 2-t = 1 - u. \end{cases}
Da primeira equação vem t=2\]. Da segunda, \(u=-8. Substituindo na terceira:
2-2 = 1 - (-8) \quad\Longrightarrow\quad 0 = 9,
contradição. Logo, não se intersectam. Concluímos que r e s são reversas.

Passo 3

Para construir dois planos paralelos que contenham cada reta, escolhemos um vetor normal n comum, perpendicular às direções de r e s.
n = v_r \times v_s = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&0&-1\\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix} = (1,2,2).
Esse n satisfaz n\cdot v_r=0 e n\cdot v_s=0, garantindo que os planos com normal n sejam paralelos e contenham cada reta.

Passo 4

Escolhemos um ponto de r, por exemplo P_0=(-1,0,2), e definimos \alpha por
\alpha: n\cdot (X-P_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1,2,2)\cdot(x+1,y,z-2)=0
\alpha:\;x+1+2y+2(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha:\;x+2y+2z-3=0.
Escolhemos um ponto de s, por exemplo Q_0=(3,8,1), e definimos \beta por o mesmo normal:
\beta: (1,2,2)\cdot(x-3,y-8,z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad \beta:\;x+2y+2z-21=0.

Passo 5

A distância entre duas retas reversas é igual à distância entre os planos paralelos que as contêm, ou diretamente
d = \frac{\bigl|(P_0 - Q_0)\cdot n\bigr|}{\|n\|}
com P_0=(-1,0,2), Q_0=(3,8,1) e n=(1,2,2).
Calculamos P_0-Q_0 =(-4,-8,1) e
(P_0-Q_0)\cdot n = -4\cdot1 +(-8)\cdot2 +1\cdot2 = -4 -16 +2 = -18,
\|n\| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3.
Logo
d = \frac{|{-18}|}{3} = 6.

Resposta

a) As retas são reversas.
b) \displaystyle \alpha: x+2y+2z-3=0 e \displaystyle \beta: x+2y+2z-21=0, que são paralelas.
c) A distância entre r e s é 6.

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