Determine a equação da reta r que passa por A=(2,1,5) e é ortogonais as retas s 1: x-1=-y+1=\frac{z+1}{2} e s_{2}: \frac{x-3}{2}=y-1=-z+2. Passo 1O enunciado pede a reta r que passa por A=(2,1,5) e é ortogonal às retas s_1:\;x-1=-y+1=\frac{z+1}{2} \quad\text{e}\quad s_2:\;\frac{x-3}{2}=y-1=-z+2. Para que r seja ortogonal a s_1 e s_2, seu vetor diretor \mathbf{v} deve ser perpendicular aos vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 de s_1 e s_2. Passo 2Extraímos \mathbf{v}_1 de s_1. Chamando o parâmetro de s_1 de t, temos x=1+t,\quad -y+1=t,\quad \frac{z+1}{2}=t \;\Longrightarrow\; y=1-t,\quad z=2t-1, logo \mathbf{v}_1=(1,\,-1,\,2). De modo análogo, para s_2 com parâmetro s: \frac{x-3}{2}=s,\quad y-1=s,\quad -z+2=s \;\Longrightarrow\; x=3+2s,\;y=1+s,\;z=2-s, logo \mathbf{v}_2=(2,\,1,\,-1). Passo 3O vetor diretor \mathbf{v} de r deve satisfazer \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_1=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_2=0. Uma forma direta é tomar o produto vetorial \mathbf{v} =\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[6pt] 1&-1&2\\[3pt] 2&1&-1 \end{vmatrix} =(-1,\,5,\,3).] Passo 4Escolhendo o parâmetro u para a reta r e usando ponto A=(2,1,5) e vetor diretor \mathbf{v}=(-1,5,3), obtemos a forma paramétrica \begin{cases} x=2 - u,\\\ y=1 + 5u,\\\ z=5 + 3u, \end{cases} e a forma simétrica \frac{x-2}{-1} \;=\;\frac{y-1}{5}\;=\;\frac{z-5}{3}. RespostaA reta r pode ser escrita em forma simétrica por \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-5}{3}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam r e s retas dadas por r: x+3=-y+4=\frac{z+3}{2} \text { e } s:\left\{\begin{array}{l} x=-4-t \\\ y=2 \\\ z=-5-2 t \end{array} .\right. a) Determine a posição relativa entre as retas r e s. b) Determine o ponto de interseção entre elas. c) Determine a equação do plano que as contém. Calcule a distância entre as retas: r:(x, y, z)=(2,1,0)+t(1,-1,1) \text { e } s:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=1+2 t \\\ z=-2-3 t \end{array}\right. Considere os planos \alpha: x+y+z=4 e \beta: 2 x+y-2 z=0. a) Determine a reta r dada pela interseção dos planos. b) Determine a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém a reta r. c) Escreva a equação da esfera que tem centro no ponto da reta r quando t=1 e é tangente à reta s: x-2=y=z-2. Um plano \pi passa pelo ponto A=(1,-1,0) e contém a reta r: x-1=\frac{y+1}{4}=z+8. Encontre a equação da esfera com centro C=(0,-2,1) e tangente ao plano \pi.