Determine a equação da reta r que passa por A=(2,1,5) e é ortogonais as retas s 1: x-1=-y+1=\frac{z+1}{2} e s_{2}: \frac{x-3}{2}=y-1=-z+2.

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por A=(2,1,5) e é ortogonal às retas
s_1:\;x-1=-y+1=\frac{z+1}{2} \quad\text{e}\quad s_2:\;\frac{x-3}{2}=y-1=-z+2.
Para que r seja ortogonal a s_1 e s_2, seu vetor diretor \mathbf{v} deve ser perpendicular aos vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 de s_1 e s_2.

Passo 2

Extraímos \mathbf{v}_1 de s_1. Chamando o parâmetro de s_1 de t, temos
x=1+t,\quad -y+1=t,\quad \frac{z+1}{2}=t \;\Longrightarrow\; y=1-t,\quad z=2t-1,
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\mathbf{v}_1=(1,\,-1,\,2).
De modo análogo, para s_2 com parâmetro s:
\frac{x-3}{2}=s,\quad y-1=s,\quad -z+2=s \;\Longrightarrow\; x=3+2s,\;y=1+s,\;z=2-s,
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\mathbf{v}_2=(2,\,1,\,-1).

Passo 3

O vetor diretor \mathbf{v} de r deve satisfazer
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_1=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_2=0.
Uma forma direta é tomar o produto vetorial
\mathbf{v} =\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[6pt] 1&-1&2\\[3pt] 2&1&-1 \end{vmatrix} =(-1,\,5,\,3).]

Passo 4

Escolhendo o parâmetro u para a reta r e usando ponto A=(2,1,5) e vetor diretor \mathbf{v}=(-1,5,3), obtemos a forma paramétrica
\begin{cases} x=2 - u,\\\ y=1 + 5u,\\\ z=5 + 3u, \end{cases}
e a forma simétrica
\frac{x-2}{-1} \;=\;\frac{y-1}{5}\;=\;\frac{z-5}{3}.

Resposta

A reta r pode ser escrita em forma simétrica por
\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-5}{3}.

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