Sejam R^2 o espaço vetorial com as operações usuais e A, sua base canônica, e a base B=(1,3),(-2,-2) do R^2.
Encontre a matriz de mudança de base A para B, [I]B^A.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a base canônica A=e1,e2 com e1=(1,0), e2=(0,1) e outra base
B=v1,v2=(1,3),,(-2,-2)
Pede-se a matriz de mudança de base de A para B, denotada por [I]B^A. Para isso vamos usar o fato de que, para todo vetor v,
[v]B ;=; [I]B^A,l[vr]A,
e que as colunas de [I]B^A são as coordenadas de e1 e e2 na base B.

Passo 2

Procuramos escrever
e1 ;=;(1,0)
como combinação linear de v1 e v2:
(1,0)=alpha,v1+beta,v2 =alpha(1,3)+beta(-2,-2)
Isso gera um sistema para alpha,beta.

Passo 3

O sistema é
1 = alpha - 2beta, 0 = 3alpha - 2beta
Da segunda equação vem 3alpha-2beta=0impliesbeta=tfrac32alpha. Substituindo na primeira:
1=alpha-2l(tfrac32alphar)=alpha-3alpha=-2alpha ;implies;alpha=-tfrac12,beta=-tfrac34
Logo [e1]B=l(-tfrac12,,-tfrac34r)^T.

Passo 4

Agora escrevemos
e2=(0,1)=gamma,v1+de<a,v2 =gamma(1,3)+de<a(-2,-2),
o que dá
0 = gamma - 2de<a, 1 = 3gamma - 2de<a
Da primeira equação gamma=2de<a. Na segunda:
1=3(2de<a)-2de<a=6de<a-2de<a=4de<a ;implies;de<a=tfrac14,gamma=tfrac12
Logo [e2]B=l(tfrac12,;tfrac14r)^T.

Passo 5

As colunas de [I]B^A são [e1]B e [e2]B. Portanto
[I]B^A = -tfrac12 & tfrac12 -tfrac34 & tfrac14

Resposta

[I]B^A = -tfrac12 & tfrac12 -tfrac34 & tfrac14

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