Calcule a distância dos seguintes objetos:
reta p: X=(2,0,-2)+lambda(-3,6,-6) e reta q: x-32=-y4=z+54.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em R^3. Esse é um problema de geometria analítica espacial: se as retas forem paralelas, usamos a fórmula
d = l|(B-A)times vr||v|,
onde A e B são pontos qualquer de cada reta e v é o vetor diretor comum. Se fossem reversamente não paralelas e não concorrentes, usaríamos
d = l|(B-A)cdot (vtimes w)r||vtimes w|
Vamos identificar pontos e vetores e verificar o caso.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica e extraímos ponto e vetor diretor.
Para a reta p:
X = (2,0,-2) + lambda,(-3,6,-6)
Logo A=(2,0,-2) e v=(-3,6,-6).
Para a reta q temos
x-32 ;=; -y4 ;=; z+54 ;=;mu
que dá
x = 3 + 2mu, y = -4mu, z = -5 + 4mu
Logo B=(3,0,-5) e w=(2,-4,4).

Passo 3

Observamos que
v = (-3,6,-6) = -3,(1,-2,2), w = (2,-4,4) = 2,(1,-2,2),
ou seja, v e w são colineares, as retas são paralelas. Portanto usamos a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 4

Calculamos o vetor de ligação B - A e o produto vetorial (B-A)times v:
B - A = (3-2,,0-0,,-5-(-2)) = (1,0,-3)
(B-A)times v = i&j&k 1&0&-3 -3&6&-6 = (18,15,6)
As normas são
|(B-A)times v| = raiz18^2 + 15^2 + 6^2 = raiz585 = 3raiz65,
|v| = raiz(-3)^2 + 6^2 + (-6)^2 = raiz81 = 9

Passo 5

Aplicando a fórmula
d = |(B-A)times v||v| = 3raiz659 = raiz653

Resposta

raiz653

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