Considere os pontos A=(3,1,2), B=(1,0,1) e C=(3,1,1).
Determine se o ponto E=(2,2,2) pertence ou não ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o ponto E=(2,2,2) está ou não no plano pi. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica no espaço 3D. Precisamos dos pontos A=(3,1,2), B=(1,0,1) e C=(3,1,1) que estão no plano pi. Vamos precisar encontrar a equação desse plano e depois verificar se o ponto E satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação do plano pi, precisamos de um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos utilizar dois vetores que estão no plano e calcular o produto vetorial entre eles.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (1-3,, 0-1,, 1-2) = (-2,, -1,, -1)
AC = C - A = (3-3,, 1-1,, 1-2) = (0,, 0,, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC para encontrar o vetor normal n ao plano:
n = AB times AC = i & j & k -2 & -1 & -1 0 & 0 & -1
Calculando o determinante:
n = i cdot (-1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) - j cdot (-2 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + k cdot (-2 cdot 0 - (-1) cdot 0)
n = i cdot (1 - 0) - j cdot (2 - 0) + k cdot (0 - 0)
n = (1,, -2,, 0)

Passo 4

Com o vetor normal n = (1, -2, 0) e sabendo que o ponto A=(3,1,2) está no plano, podemos escrever a equação do plano usando a forma:
n cdot (r - A) = 0
Isso nos dá:
1(x - 3) - 2(y - 1) + 0(z - 2) = 0
x - 3 - 2y + 2 = 0
x - 2y -1 = 0
Então, a equação do plano pi é:
x - 2y -1 = 0

Passo 5

Agora, vamos verificar se o ponto E=(2,2,2) está no plano pi. Para isso, substituímos as coordenadas de E na equação do plano:
x - 2y -1 = 0
2 - 2(2) -1 = 0
2 - 4 -1 = -3 neq 0

Resposta

Como substituindo as coordenadas de E na equação do plano resulta em -3 neq 0, o ponto E=(2,2,2) não pertence ao plano pi.

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