Calcule as distâncias abaixo. Caso a distância seja zero, encontre as intersecções.
d\left(\pi_{1}, r\right) onde \pi_{1}: 2 x-4 y+z-6=0, r:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 \lambda \\\ y=3+\lambda \\\ z=\lambda\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
\displaystyle r:\begin{cases}x=2-2\lambda,\y=3+\lambda,\z=\lambda\end{cases}
e o plano
\displaystyle \pi_1:2x-4y+z-6=0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: sabemos que, se a reta não for paralela ao plano, ela o intersecta e a distância é zero. Caso contrário, usaríamos a fórmula da distância ponto–plano para um ponto qualquer da reta.

Passo 2

Extraímos o vetor direção de r e a normal de \pi_1:
\displaystyle \mathbf v=(-2,1,1) e \displaystyle \mathbf n=(2,-4,1).
Calculamos o produto escalar
\displaystyle \mathbf n\cdot\mathbf v=2\cdot(-2)+(-4)\cdot1+1\cdot1=-4-4+1=-7\neq0.
Como \mathbf n\cdot\mathbf v\neq0, a reta não é paralela ao plano e, portanto, intersecta-o. Logo, a distância é zero e precisamos achar o ponto de interseção.

Passo 3

Para encontrar o parâmetro \lambda do ponto de interseção, substituímos a parametrização de r em \pi_1:
2(2-2\lambda)-4(3+\lambda)+\lambda-6=0.
Expandindo e agrupando termos:
4-4\lambda-12-4\lambda+\lambda-6=0 \quad\Longrightarrow\quad -7\lambda-14=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-2.
Substituindo \lambda=-2 em r, obtemos
x=2-2(-2)=6,\quad y=3+(-2)=1,\quad z=-2.

Resposta

A distância é zero e a reta intersecta o plano em
P=(6,\,1,\,-2).

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