Determine m, caso exista, para que:
r \perp \pi sendo r: X=(1,-1,0)+\lambda(m-1,0,6) e \pi:\left\{\begin{array}{l}x=1+3 \lambda \\\ y=1+2 \lambda+\mu \\\ z=3+3 \lambda\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para determinar m de modo que a reta r seja perpendicular ao plano \pi. Vamos usar geometria vetorial em \mathbb{R}^3: precisamos dos vetores diretores da reta e do plano e aplicar a condição de ortogonalidade entre o vetor diretor da reta e o plano.

Passo 2

A reta é dada por
r: X = (1,-1,0) + \lambda\,(m-1,0,6)
Logo, seu vetor diretor é
v_r = (m-1,\,0,\,6).
O plano é dado por
\pi: \begin{cases} x = 1 + 3\lambda,\\\ y = 1 + 2\lambda + \mu,\\\ z = 3 + 3\lambda. \end{cases}
Tomando derivadas em relação a \lambda e \mu, obtemos dois vetores diretores do plano:
v_1 = (3,\,2,\,3), \quad v_2 = (0,\,1,\,0).

Passo 3

A condição para que r\perp\pi é que o vetor v_r seja ortogonal a ambos v_1 e v_2. Isto é,
v_r \cdot v_1 = 0 \quad\text{e}\quad v_r \cdot v_2 = 0.

Passo 4

Calculando cada produto escalar:
v_r \cdot v_2 = (m-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 6\cdot 0 = 0,
o que já é satisfeito para todo m.
v_r \cdot v_1 = (m-1)\cdot 3 + 0\cdot 2 + 6\cdot 3 = 3(m-1) + 18 = 3m + 15.
Igualando a zero:
3m + 15 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -5.

Passo 5

Concluímos que existe valor único de m que torna r perpendicular a \pi, e esse valor é m=-5.

Resposta

m = -5

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