Determine m, caso exista, para que: r \perp \pi sendo r: X=(1,-1,0)+\lambda(m-1,0,6) e \pi:\left\{\begin{array}{l}x=1+3 \lambda \\\ y=1+2 \lambda+\mu \\\ z=3+3 \lambda\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede para determinar m de modo que a reta r seja perpendicular ao plano \pi. Vamos usar geometria vetorial em \mathbb{R}^3: precisamos dos vetores diretores da reta e do plano e aplicar a condição de ortogonalidade entre o vetor diretor da reta e o plano.
Passo 2
A reta é dada por
r: X = (1,-1,0) + \lambda\,(m-1,0,6)
Logo, seu vetor diretor é
v_r = (m-1,\,0,\,6).
O plano é dado por
\pi: \begin{cases} x = 1 + 3\lambda,\\\ y = 1 + 2\lambda + \mu,\\\ z = 3 + 3\lambda. \end{cases}
Tomando derivadas em relação a \lambda e \mu, obtemos dois vetores diretores do plano:
v_1 = (3,\,2,\,3), \quad v_2 = (0,\,1,\,0).
Passo 3
A condição para que r\perp\pi é que o vetor v_r seja ortogonal a ambos v_1 e v_2. Isto é,