Determine m, caso exista, para que:
\pi_{1} \perp \pi_{2}, sendo \pi_{1}: m x+2 y-3 z-1=0, \pi_{2}: m x-m y+1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações de planos em \mathbb{R}^3:
\pi_{1}: m\,x+2\,y-3\,z-1=0, \quad \pi_{2}: m\,x - m\,y +1=0
e pede os valores de m para que \pi_{1} seja perpendicular a \pi_{2}. Para isso, vamos usar a propriedade de que dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são ortogonais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano extraindo os coeficientes de x,y,z:
\mathbf{n}_{1} = (m,\,2,\,-3), \quad \mathbf{n}_{2} = (m,\,-m,\,0).

Passo 3

Do critério de ortogonalidade, devemos ter
\mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2} = 0.
Calculando o produto escalar:
\mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2} = m\cdot m + 2\cdot(-m) + (-3)\cdot 0 = m^2 - 2m.

Passo 4

Impondo m^2 - 2m=0, fatoramos:
m(m-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad m=0 \quad\text{ou}\quad m=2.

Passo 5

Verificamos as soluções:
  • Se m=0, então \mathbf{n}_{2}=(0,0,0), o que não define um plano válido.
  • Se m=2, ambos os vetores normais são não nulos e ortogonais.

Resposta

O valor de m que faz \pi_{1}\perp\pi_{2} é m=2.

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