Calcule div \mathbf{F} e (\operatorname{rot} \mathbf{F}).
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \mathbf{i}-\cos y \mathbf{j}+\operatorname{sen}^{2} z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=e^xy,i-cos y,j+sin^2z,k
e pede para calcular divF e rotF.
O conteúdo é cálculo vetorial básico: usaremos definições de divergente e rotacional e computaremos derivadas parciais dos componentes de F.

Passo 2

Para calcular
divF usamos a definição
divF =partialpartial xl(F1r) +partialpartial yl(F2r) +partialpartial zl(F3r),
onde F1=e^xy, F2=-cos y e F3=sin^2z.
Calculamos as parciais:
partial F1partial x = y,e^xy, partial F2partial y = sin y, partial F3partial z =2sin zcos z=sin2z
Logo
divF = y,e^xy + sin y + sin2z

Passo 3

Para calcular
rotF usamos o determinante
rotF = i & j & k partialx & partialy & partialz e^xy & -cos y & sin^2z
Desenvolvendo:
– Componente i:
partialy(sin^2z)-partialz(-cos y)=0-0=0.
– Componente j:
partialz(e^xy)-partialx(sin^2z)=0-0=0,
tendo em conta o sinal negativo à frente fica 0.
– Componente k:
partialx(-cos y)-partialy(e^xy)=0 - x,e^xy=-x,e^xy
Portanto
rotF =(0,0,-x,e^xy) =-x,e^xy,k

Resposta

divF=y,e^xy+sin y+sin2z
rotF=-x,e^xy,k

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