Calcule div \mathbf{F} e (\operatorname{rot} \mathbf{F}).
\mathbf{F}(x, y, z)=x z^{3} \mathbf{i}+2 y^{4} x^{2} \mathbf{j}+5 z^{2} y \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y,z)=x z^3,i+2y^4x^2,j+5z^2y,k
e pede a divergência div,F e o rotor nablatimesF. Vamos usar as definições clássicas de cálculo vetorial.

Passo 2

Para a divergência usamos
div,F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z
Aqui F1=x z^3, F2=2x^2y^4 e F3=5z^2y. Calculando cada derivada:
partialpartial x(x z^3)=z^3,
partialpartial y(2x^2y^4)=8x^2y^3,
partialpartial z(5z^2y)=10z,y

Passo 3

Somando esses termos, obtemos
div,F=z^3+8x^2y^3+10z,y

Passo 4

Para o rotor usamos a fórmula
nablatimesF= i & j & k partialx & partialy & partialz x z^3 & 2x^2y^4 & 5z^2y
Isso dá os componentes
(nablatimesF)i =partialpartial y(5z^2y)-partialpartial z(2x^2y^4) =5z^2-0=5z^2,
(nablatimesF)j =partialpartial z(x z^3)-partialpartial x(5z^2y) =3xz^2-0=3xz^2,
(nablatimesF)k =partialpartial x(2x^2y^4)-partialpartial y(x z^3) =4xy^4-0=4xy^4

Resposta

div,F=z^3+8x^2y^3+10z,y
nablatimesF=5z^2,i+3xz^2,j+4xy^4,k

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