Calcule div \mathbf{F} e (\operatorname{rot} \mathbf{F}).
\mathbf{F}(x, y, z)=x z^{3} \mathbf{i}+2 y^{4} x^{2} \mathbf{j}+5 z^{2} y \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=x z^{3} \mathbf{i}+2 y^{4} x^{2} \mathbf{j}+5 z^{2} y \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede a divergência
e o rotor
. Vamos usar as definições clássicas de cálculo vetorial.
Passo 2
Para a divergência usamos
Aqui
,
e
. Calculando cada derivada:
Passo 3
Somando esses termos, obtemos
Passo 4
Para o rotor usamos a fórmula
Isso dá os componentes