Confirme que (\varphi) é uma função potencial de (\mathbf{F}(\mathbf{r})) em alguma região e determine a região.
(\varphi(x, y)=2 y^{2}+3 x^{2} y-x y^{3})
(\mathbf{F}(x, y)=\left(6 x y-y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(4 y+3 x^{2}-3 x y^{2}\right) \mathbf{j})

Passo 1

O enunciado nos dá a função
phi(x,y)=2y^2+3x^2y-xy^3
e o campo
F(x,y)=(6xy-y^3),i+(4y+3x^2-3xy^2),j.
Para ver se phi é potencial de F, vamos verificar se
nablaphi=(partialphi/partial x,;partialphi/partial y)
coincide com F.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de phi em relação a x:
partialphipartial x =partialpartial xl(2y^2r) +partialpartial xl(3x^2yr) -partialpartial xl(xy^3r) =0+6xy-y^3
e isso coincide com a componente i de F, pois F1=6xy-y^3.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de phi em relação a y:
partialphipartial y =partialpartial yl(2y^2r) +partialpartial yl(3x^2yr) -partialpartial yl(xy^3r) =4y+3x^2-3xy^2
e isso coincide com a componente j de F, pois F2=4y+3x^2-3xy^2.

Passo 4

Como phi e F são expressas por polinômios, todas as derivadas são contínuas em R^2. Além disso R^2 é simplesmente conexo, portanto não há “buracos” que impeçam a existência de potencial.

Resposta

phi é função potencial de F em toda a região R^2.

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