Confirme que (\varphi) é uma função potencial de (\mathbf{F}(\mathbf{r})) em alguma região e determine a região.
(\varphi(x, y)=2 y^{2}+3 x^{2} y-x y^{3})
(\mathbf{F}(x, y)=\left(6 x y-y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(4 y+3 x^{2}-3 x y^{2}\right) \mathbf{j})
(\varphi(x, y)=2 y^{2}+3 x^{2} y-x y^{3})
(\mathbf{F}(x, y)=\left(6 x y-y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(4 y+3 x^{2}-3 x y^{2}\right) \mathbf{j})
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o campo
.
Para ver se é potencial de
, vamos verificar se
coincide com .
e o campo
Para ver se
coincide com
Passo 2
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
e isso coincide com a componente
de
, pois
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
e isso coincide com a componente
de
, pois
.
Passo 4
Como
e
são expressas por polinômios, todas as derivadas são contínuas em
. Além disso
é simplesmente conexo, portanto não há “buracos” que impeçam a existência de potencial.