Calcule a divergência e rotacional do campo vetorial abaixo
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+0\,\vec{k} e pede a divergência e o rotacional. Vamos usar as definições
\nabla\cdot\vec{F} \quad\text{e}\quad \nabla\times\vec{F},
onde \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z).

Passo 2

Para a divergência usamos
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(0).
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \quad \frac{\partial}{\partial z}(0)=0,
logo
\nabla\cdot\vec{F}=1+1+0=2.

Passo 3

Para o rotacional usamos a fórmula em forma de determinante:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ x & y & 0 \end{vmatrix}.
Isso dá componentes
(\partial_y0-\partial_z y)\,\vec{i} - (\partial_x0-\partial_z x)\,\vec{j} +(\partial_x y-\partial_y x)\,\vec{k}.
Como todas essas derivadas são zero ou se cancelam, obtemos
\begin{cases} \partial_y0-\partial_z y=0,\\\ \partial_x0-\partial_z x=0,\\\ \partial_x y-\partial_y x=0, \end{cases}
logo
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Resposta

A divergência é \nabla\cdot\vec{F}=2.
O rotacional é \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Exercícios relacionados