Calcule a divergência e rotacional do campo vetorial abaixo
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = y\,\vec{i} + z\,\vec{j} + x\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, usando as fórmulas
\nabla\cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
\nabla\times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.

Passo 2

Identificamos as componentes
F_x = y,\quad F_y = z,\quad F_z = x.
Calculamos cada derivada parcial para a divergência:
\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial x}{\partial z} = 0.
Logo,
\nabla\cdot \vec{F} = 0 + 0 + 0 = 0.

Passo 3

Para o rotacional, montamos o determinante
\nabla\times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ y & z & x \end{vmatrix}.
Isso dá as componentes
(\nabla\times \vec{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial z} = 0 - 1 = -1,
(\nabla\times \vec{F})_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial x}{\partial x} = 0 - 1 = -1,
(\nabla\times \vec{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 0 - 1 = -1.
Portanto
\nabla\times \vec{F} = -\,\vec{i} \;-\;\vec{j}\;-\;\vec{k}.

Resposta

Divergência: 0
Rotacional: -\,\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}

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