Calcule a divergência e rotacional do campo vetorial abaixo
\vec{F}(x, y, z)=-\frac{x}{z} \vec{i}-\frac{y}{z} \vec{j}+\frac{1}{z} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência \nabla\cdot\vec F e o rotacional \nabla\times\vec F do campo
\vec F(x,y,z) = -\frac{x}{z}\,\vec i \;-\;\frac{y}{z}\,\vec j\;+\;\frac{1}{z}\,\vec k.
Vamos usar as definições padrão de divergência e rotacional.

Passo 2

A divergência de um campo \vec F=(F_x,F_y,F_z) é
\nabla\cdot\vec F \;=\;\frac{\partial F_x}{\partial x} \;+\;\frac{\partial F_y}{\partial y} \;+\;\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui temos F_x=-\tfrac{x}{z}, F_y=-\tfrac{y}{z} e F_z=\tfrac{1}{z}. Então
\frac{\partial F_x}{\partial x} = -\frac{1}{z}, \quad \frac{\partial F_y}{\partial y} = -\frac{1}{z}, \quad \frac{\partial F_z}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}.
Logo
\nabla\cdot\vec F = -\frac{1}{z} - \frac{1}{z} - \frac{1}{z^2} = -\frac{2}{z} \;-\;\frac{1}{z^2}.

Passo 3

O rotacional de \vec F é dado por
\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
\displaystyle (\nabla\times\vec F)_x = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-\frac{y}{z}\Bigr) = 0 - \frac{y}{z^2} = -\frac{y}{z^2}.
\displaystyle (\nabla\times\vec F)_y = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-\frac{x}{z}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr) = \frac{x}{z^2} - 0 = \frac{x}{z^2}.
\displaystyle (\nabla\times\vec F)_z = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{y}{z}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{x}{z}\Bigr) = 0 - 0 = 0.
Portanto
\nabla\times\vec F = -\frac{y}{z^2}\,\vec i \;+\;\frac{x}{z^2}\,\vec j \;+\;0\,\vec k.

Resposta

Divergência: \nabla\cdot\vec F = -\tfrac{2}{z} - \tfrac{1}{z^2}.
Rotacional: \nabla\times\vec F = -\tfrac{y}{z^2}\,\vec i + \tfrac{x}{z^2}\,\vec j.

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