Dada a função:
f(x)=3 \operatorname{sen}\left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)
Determine o seu dominio, imagem, periodo e construa o grafico de f \mathrm{em} um pe completo (faça uma tabela de com no minimo 10 pontos).(valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=3\operatorname{sen}\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)
e pede que a gente determine o domínio, a imagem, o período e que construa o gráfico em um período completo usando pelo menos 10 pontos. O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas: domínio de senóide, amplitude, deslocamento e período.

Passo 2

Domínio: como \operatorname{sen} está definido para todo x\in\mathbb{R} e não há divisões nem raízes de índice par envolvendo x, o domínio de f é
\mathbb{R}.

Passo 3

Imagem: a função básica \operatorname{sen} varia entre -1 e 1. Multiplicando por 3, a imagem fica
[-3,3].

Passo 4

Período: a função \operatorname{sen}(u) tem período 2\pi. Aqui o argumento é u=2x-\tfrac{\pi}{4}, cuja inclinação em x é 2. Logo o período em x é
\frac{2\pi}{2}=\pi.

Passo 5

Tabela de valores em um período completo. Vamos escolher o intervalo de x tal que 2x-\tfrac{\pi}{4} vá de 0 até 2\pi.
Resolvendo 2x-\tfrac{\pi}{4}=0 x_0=\tfrac{\pi}{8}. Um período depois é x_0+\pi=\tfrac{\pi}{8}+\pi. Dividimos esse intervalo em 10 partes iguais:
x_k = \frac{\pi}{8} + k\cdot\frac{\pi}{10},\quad k=0,1,\dots,10.
Então
f(x_k)=3\operatorname{sen}\bigl(2x_k-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =3\operatorname{sen}\bigl(k\pi/5\bigr).
A tabela com aproximações decimais fica:
\begin{array}{c|c} x_k & f(x_k)\\hline \frac{\pi}{8} & 0\\\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx1,763\\\ \frac{\pi}{8}+2\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)\approx2,853\\\ \frac{\pi}{8}+3\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{5}\bigr)\approx2,853\\\ \frac{\pi}{8}+4\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{4\pi}{5}\bigr)\approx1,763\\\ \frac{\pi}{8}+5\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\pi\bigr)=0\\\ \frac{\pi}{8}+6\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr)\approx-1,763\\\ \frac{\pi}{8}+7\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{7\pi}{5}\bigr)\approx-2,853\\\ \frac{\pi}{8}+8\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{8\pi}{5}\bigr)\approx-2,853\\\ \frac{\pi}{8}+9\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{9\pi}{5}\bigr)\approx-1,763\\\ \frac{\pi}{8}+10\frac{\pi}{10} & 3\operatorname{sen}\!\bigl(2\pi\bigr)=0 \end{array}

Passo 6

Gráfico: no plano xy, marque os pares \bigl(x_k,f(x_k)\bigr) do passo anterior. Observa-se que em x=\tfrac{\pi}{8} a curva parte de 0, sobe até 3 em torno de x\approx1{,}02, volta a 0 em x\approx1{,}57, atinge -3 em x\approx2{,}21 e retorna a 0 em x=\tfrac{\pi}{8}+\pi. Ligue esses pontos com uma curva suave de senoide. Esse é um período completo.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-3,3]
Período: \pi

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