O volume da região acima do plano z=0, interna à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e externa ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é igual a
\frac{64 \pi(2-\sqrt{3})}{3}.
\frac{64 \pi(2-\sqrt{2})}{3}.
\frac{64 \pi \sqrt{3}}{3}.
\frac{64 \pi}{3}.
\frac{64 \pi \sqrt{2}}{3}.
outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região acima do plano z=0, contida na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e externa ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), em que
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em esféricas:
– A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 vira \rho=4.
– O plano z=0 corresponde a \varphi=\tfrac{\pi}{2} (limite superior) e o eixo z\ge0 \varphi\le\tfrac{\pi}{2}.
– O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi, ou seja \varphi=\tfrac{\pi}{4}. Externa ao cone significa \varphi\ge\tfrac{\pi}{4}.
\theta varia de 0 a 2\pi.
Logo os limites são
0\le\rho\le4,\quad \tfrac{\pi}{4}\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

O volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{0}^{4}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a integral em \rho:
\int_{0}^{4}\rho^{2}\,d\rho=\Bigl[\tfrac{\rho^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{4}=\tfrac{64}{3}.
Em seguida a integral em \varphi:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =0-(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Falta integrar em \theta, que simplesmente dá um fator 2\pi. Assim
V=2\pi\cdot \tfrac{64}{3}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} =\frac{64\pi\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64\pi\sqrt{2}}{3}

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