Determine se \vec{F} é o gradiente de uma certa função \varphi. Se for, determine \varphi.
\vec{F}(x, y)=e^{y} \vec{i}+\left(x e^{y}+y\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=e^{y}\,\vec{i}+\bigl(xe^{y}+y\bigr)\,\vec{j}
e pede para decidir se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. O conteúdo envolvido é o teste de campo conservativo em domínios simplesmente conectados e a construção de \varphi por integração das componentes de \vec{F}.

Passo 2

Chamando
P(x,y)=e^{y},\quad Q(x,y)=xe^{y}+y,
verificamos se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\bigr)=e^{y}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe^{y}+y\bigr)=e^{y}.
Como são iguais em todo \mathbb{R}^2, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Da condição \varphi_x=P=e^{y}, integramos em x:
\varphi(x,y)=\int e^{y}\,dx=x\,e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos \varphi_y=Q. Calculando
\varphi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xe^{y}+h(y)\bigr) = x e^{y}+h'(y)
e igualando a Q=xe^{y}+y, obtemos
h'(y)=y\quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^2}{2}+C.

Resposta

\varphi(x,y)=x\,e^{y}+\frac{y^2}{2}+C,
logo \vec{F}=\nabla\varphi.

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