Determine se \vec{F} é o gradiente de uma certa função \varphi. Se for, determine \varphi.
\vec{F}(x, y)=(\sin x y) \vec{i}+(\cos x y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y) = (\sin(xy))\,\mathbf{i} + (\cos(xy))\,\mathbf{j}
e pede para verificar se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi = \vec{F}. O conteúdo aqui é campo conservativo (gradiente) em duas variáveis e vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais mistas.

Passo 2

Se \varphi existe com \nabla\varphi = \vec{F}, então
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \sin(xy)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \cos(xy).
Em domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo se e somente se
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)\bigr) \;=\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xy)\bigr).

Passo 3

Calculemos a derivada de \sin(xy) em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)\bigr) = \cos(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial y} = \cos(xy)\cdot x = x\,\cos(xy).

Passo 4

Calculemos agora a derivada de \cos(xy) em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xy)\bigr) = -\sin(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial x} = -\sin(xy)\cdot y = -\,y\,\sin(xy).

Passo 5

Para \vec{F} ser gradiente precisaríamos de
x\,\cos(xy) \;=\;-\,y\,\sin(xy)
para todos (x,y). Essa igualdade não é satisfeita em geral (por exemplo em (x,y)=(1,1) fica \cos1\neq -\sin1). Logo o campo não é conservativo.

Resposta

Não existe \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}; o campo não é gradiente.

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