Determine se
é o gradiente de uma certa função
. Se for, determine
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede para verificar se existe uma função escalar
tal que
. O conteúdo aqui é campo conservativo (gradiente) em duas variáveis e vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais mistas.
Passo 2
Se
existe com
, então
Em domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo se e somente se
Passo 3
Calculemos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Calculemos agora a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Para
ser gradiente precisaríamos de
para todos
. Essa igualdade não é satisfeita em geral (por exemplo em
fica
). Logo o campo não é conservativo.
Resposta
Não existe
tal que
; o campo não é gradiente.