Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial listados abaixo:
F(x, y, z)=x z^3 i+2 x^2 y^4 j+5 y z^2 k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=x,z^3,i+2,x^2,y^4,j+5,y,z^2,k
e pede a divergência nablacdotF e o rotacional nablatimesF. Vamos usar as definições
nablacdotF=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z,
nablatimesF =l(partialyFz-partialzFyr)i +l(partialzFx-partialxFzr)j +l(partialxFy-partialyFxr)k

Passo 2

Calculamos cada derivada parcial para a divergência:
partial Fxpartial x =partial (x,z^3)partial x=z^3, partial Fypartial y =partial (2,x^2,y^4)partial y=8,x^2,y^3, partial Fzpartial z =partial (5,y,z^2)partial z=10,y,z
Somando, obtemos
nablacdotF=z^3+8,x^2,y^3+10,y,z

Passo 3

Agora o rotacional, componente a componente:
  1. Componente em i:
partialyFz-partialzFy =partial(5,y,z^2)partial y-partial(2,x^2,y^4)partial z =5,z^2-0=5,z^2
  1. Componente em j:
partialzFx-partialxFz =partial(x,z^3)partial z-partial(5,y,z^2)partial x =3,x,z^2-0=3,x,z^2
  1. Componente em k:
partialxFy-partialyFx =partial(2,x^2,y^4)partial x-partial(x,z^3)partial y =4,x,y^4-0=4,x,y^4
Portanto,
nablatimesF =5,z^2,i+3,x,z^2,j+4,x,y^4,k

Resposta

nablacdotF=z^3+8,x^2,y^3+10,y,z,
nablatimesF=5,z^2,i+3,x,z^2,j+4,x,y^4,k

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