Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a divergência de um campo vetorial específico:
. A divergência é um conceito de cálculo vetorial que nos ajuda a entender como um campo vetorial se comporta em um ponto, basicamente medindo se há “fluxo” entrando ou saindo desse ponto. Para calcular isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula da divergência em um campo de duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergência para um campo vetorial em duas dimensões. Se temos um campo vetorial
, a divergência é dada por:
Isso significa que vamos derivar a primeira componente do vetor em relação a
e a segunda componente em relação a
, e depois somar esses resultados.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Porque ao derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante, e a derivada de
é 1, então sobra
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função exponencial mantendo a mesma base
e multiplicamos pela derivada do expoente em relação a
.
Passo 6
Agora, somamos as duas derivadas que encontramos para obter a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é: