Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais: F(x, y)=(x y^2, e^x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a divergência de um campo vetorial específico: F(x, y)=(x y^2, e^x^2+y^2). A divergência é um conceito de cálculo vetorial que nos ajuda a entender como um campo vetorial se comporta em um ponto, basicamente medindo se há “fluxo” entrando ou saindo desse ponto. Para calcular isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula da divergência em um campo de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergência para um campo vetorial em duas dimensões. Se temos um campo vetorial F(x, y) = (F1, F2), a divergência é dada por:
div , F = partial F1partial x + partial F2partial y
Isso significa que vamos derivar a primeira componente do vetor em relação a x e a segunda componente em relação a y, e depois somar esses resultados.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
  • F1 = x y^2
  • F2 = e^x^2+y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar F1 em relação a x:
partial F1partial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
Porque ao derivar x y^2 em relação a x, tratamos y^2 como uma constante, e a derivada de x é 1, então sobra y^2.

Passo 5

Agora, vamos derivar F2 em relação a y:
partial F2partial y = partialpartial y (e^x^2+y^2) = e^x^2+y^2 cdot partialpartial y(x^2+y^2) = e^x^2+y^2 cdot 2y = 2y e^x^2+y^2
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função exponencial mantendo a mesma base e^x^2+y^2 e multiplicamos pela derivada do expoente em relação a y.

Passo 6

Agora, somamos as duas derivadas que encontramos para obter a divergência:
div , F = partial F1partial x + partial F2partial y = y^2 + 2y e^x^2+y^2

Resposta

A divergência do campo vetorial F(x, y)=(x y^2, e^x^2+y^2) é:
div , F = y^2 + 2y e^x^2+y^2

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