Para responder as questões 23 e 24, considere a técnica da transformação log: Se lim x a ln (f(x))=L, então
lim x a f(x)=lim x a exp (ln (f(x)))=exp (lim x a ln (f(x)))=e^L,
sendo que os limites valem inclusive para a=infty e L=infty, nesse caso entendemos e^infty como sendo infty.
Uma outra forma de entender essa propriedade é da seguinte forma: se y= f(x), temos ln (y)=ln (f(x)). Se calcularmos lim x a ln (f(x))=L, então lim x a f(x)=e^L.
Aqui você deve notar que a função exponencial e^x tem como inversa a função ln (x) (e vice-versa), portanto e^ln (a)=a qualquer seja a>0 e ln (e^b)=b para todo b in R.
lim x infty x^1x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyx^1x
usando a técnica da transformação logarítmica. Vamos precisar reconhecer que, se definirmos f(x)=x^1/x, então podemos estudar ln(f(x)) e depois voltar pela exponencial.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^1x,
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lnl(f(x)r)=ln!l(x^1xr) =1x,ln(x)

Passo 3

Calculamos o limite
L=limxtoinftyln(x)x
Como ln(x) cresce mais lentamente que x, podemos aplicar a regra de l’Hôpital:
L=limxtoinftyddxln(x)ddxx =limxtoinfty1/x1 =0

Passo 4

Como ln(f(x))to L=0, voltamos à função original:
limxtoinftyf(x) =limxtoinftye^ln(f(x)) =e^,L =e^0 =1

Resposta

1

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