Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
(22.1) F(x, y)=(x y^2, e^x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a divergência do campo vetorial F(x, y) = (x y^2, e^x^2+y^2). Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a divergência nos ajuda a entender como um campo se comporta em termos de “fonte” ou “sumidouro” em cada ponto. Pra resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais das componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência. Em matemática, especialmente em cálculo vetorial, a divergência de um campo vetorial F(x, y) = (F1, F2) é dada pela fórmula:
div , F = partial F1partial x + partial F2partial y
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
F1 = x y^2
F2 = e^x^2+y^2
Precisamos calcular partial F1partial x e partial F2partial y.

Passo 4

Vamos calcular partial F1partial x:
partial F1partial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
Porque a derivada de x em relação a x é 1, então sobra y^2.

Passo 5

Agora, vamos calcular partial F2partial y:
partial F2partial y = partialpartial y (e^x^2+y^2) = e^x^2+y^2 cdot partialpartial y (x^2+y^2) = e^x^2+y^2 cdot 2y = 2y e^x^2+y^2
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de e^u é e^u vezes a derivada de u, onde u = x^2 + y^2.

Passo 6

Agora, somamos as duas derivadas que calculamos para encontrar a divergência:
div , F = partial F1partial x + partial F2partial y = y^2 + 2y e^x^2+y^2

Resposta

A divergência do campo vetorial F(x, y) = (x y^2, e^x^2+y^2) é:
div , F = y^2 + 2y e^x^2+y^2

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