Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no 1^0 octante pelo plano z3+x2+y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
z3 + x2 + y = 1
Vamos usar integral dupla projetando o sólido na região do plano xy.

Passo 2

A projeção P no plano xy é dada por
x>=0, y>=0, x2+y<=1
ou seja
0<= x<=2, 0<= y<= 1-x2

Passo 3

Para cada (x,y)in P, a coordenada z varia de 0 até
z=3l(1-x2-yr)
obtido da equação do plano.

Passo 4

O volume é
V=integral duplaP l(zmaxr),dA =integralx=0^2integraly=0^1-x23l(1-tfracx2-yr),dy,dx

Passo 5

Calcule a integral interna em y:
integral0^1-x23l(1-tfracx2-yr),dy =3l[,(1-tfracx2)y-tfracy^22r]0^1-x2 = tfrac32l(1-tfracx2r)^2

Passo 6

Agora a integral em x:
V=integral0^232l(1-tfracx2r)^2,dx
Com a substituição u=1-tfracx2, du=-tfrac12,dx, os limites vão de u(0)=1 a u(2)=0, e
V=32integral1^0u^2l(-2,dur) =3integral0^1u^2,du =3l[tfracu^33r]0^1 =1

Resposta

O volume do tetraedro é 1.

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