Seja f:(0, pi2) R definida por
f(x)=raizsec ^2 x+cosec^2 x
Se alpha in(0, pi2) é tal que tg alpha=13, calcule o valor de f(alpha).

Passo 1

O enunciado define f:(0,tfracpi2)toR por
f(x)=raizsec^2 x+csc^2 x,
e pede f(alpha) em que alphain(0,tfracpi2) satisfaz tanalpha=tfrac13. Vamos usar identidades trigonométricas e um triângulo retângulo para achar sinalpha e cosalpha.

Passo 2

Pelo fato de sec x=1/cos x e csc x=1/sin x, temos
f(alpha)=raiz1cos^2alpha+1sin^2alpha

Passo 3

Como tanalpha=tfracsinalphacosalpha=tfrac13, considere um triângulo retângulo com cateto oposto 1 e adjacente 3. A hipotenusa vale
raiz1^2+3^2=raiz10
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sinalpha=1raiz10, cosalpha=3raiz10

Passo 4

Então
1cos^2alpha =l(raiz103r)^!2 =109, 1sin^2alpha =l(raiz101r)^!2 =10

Passo 5

Somando e extraindo a raiz:
f(alpha) =raiz109+10 =raiz10+909 =raiz1009 =103

Resposta

103

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