Calcule o divergente do campo vetorial dado:
F(x, y, z)=(x^2-y^2, sen(x^2+y^2), arctan z).

Passo 1

O enunciado pede o divergente do campo vetorial
F(x,y,z) = l(x^2-y^2,,sin(x^2+y^2),,arctan zr).
Para isso usamos a definição de divergente em coordenadas cartesianas:
div F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z,
onde F1=x^2-y^2, F2=sin(x^2+y^2) e F3=arctan z.

Passo 2

Calculamos partial F1partial x.
Como F1(x,y,z)=x^2-y^2 depende de x apenas pelo termo x^2,
partial F1partial x = partialpartial xl(x^2-y^2r) = 2x

Passo 3

Calculamos partial F2partial y.
Aqui F2(x,y,z)=sinl(x^2+y^2r), então aplicamos a regra da cadeia:
partial F2partial y = cosl(x^2+y^2r);partialpartial yl(x^2+y^2r) = cosl(x^2+y^2r)cdot 2y = 2y,cosl(x^2+y^2r)

Passo 4

Calculamos partial F3partial z.
Para F3(x,y,z)=arctan z, sabemos que
ddzl(arctan zr) = 11+z^2
Logo,
partial F3partial z = 11+z^2

Passo 5

Somamos os três resultados para obter o divergente:
div F = 2x ;+; 2y,cosl(x^2+y^2r) ;+; 11+z^2

Resposta

boxeddiv F(x,y,z) = 2x + 2y,cosl(x^2+y^2r) + 11+z^2

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