Problema 7 Seja B=e1, e2, e3 uma base ortornormal de V^3.
Se u=(-1,-1,-1)B, encontre |-2 u|

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal B=vec e1,vec e2,vec e3 de V^3 e o vetor vec u com coordenadas (-1,-1,-1)B. Queremos |,-2vec u|. Vamos usar que, em base ortonormal,
  1. as coordenadas de vec u são suas componentes cartesianas, e
  2. |alphavec v|=|alpha|,|vec v| e |vec v|=raizv1^2+v2^2+v3^2.

Passo 2

Como a base é ortonormal, as coordenadas de são justamente seus componentes em . Logo
e seu comprimento é

Passo 3

Aplicamos a propriedade da norma em escalares: para qualquer escalar alpha e vetor vec v,
|alphavec v| = |alpha|,|vec v|
Aqui alpha=-2 e vec v=vec u, então
| -2,vec u| = |-2|,|vec u| = 2,|vec u|

Passo 4

Substituindo |vec u| = raiz3 em | -2,vec u| = 2,|vec u|, obtemos
| -2,vec u| = 2,raiz3

Resposta

2raiz3

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