Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y)=(y(1+y^2)(1+x^2+y^2), x(1+x^2)(1+x^2+y^2)).

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(y,(1+y^2)1+x^2+y^2,;x,(1+x^2)1+x^2+y^2r)
e pede para verificar se ele é conservativo em R^2 (domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, encontrar uma potencial Phi(x,y).

Passo 2

Um critério para conservatividade em domínio simplesmente conectado é
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 3

Calculemos
P(x,y)=y+y^31+x^2+y^2
Usando a regra do quociente,
partial Ppartial y =l(1+3y^2r)(1+x^2+y^2)-2y,(y+y^3)(1+x^2+y^2)^2 =1+x^2+2y^2+3x^2y^2+y^4(1+x^2+y^2)^2

Passo 4

Calculemos
Q(x,y)=x+x^31+x^2+y^2
De modo análogo,
partial Qpartial x =l(1+3x^2r)(1+x^2+y^2)-2x,(x+x^3)(1+x^2+y^2)^2 =1+2x^2+y^2+x^4+3x^2y^2(1+x^2+y^2)^2

Passo 5

Comparemos
partial Ppartial y =1+x^2+2y^2+3x^2y^2+y^4(1+x^2+y^2)^2, partial Qpartial x =1+2x^2+y^2+x^4+3x^2y^2(1+x^2+y^2)^2
Como claramente
partial P/partial yneqpartial Q/partial x em geral, concluímos que F não é conservativo e, portanto, não existe função potencial global Phi(x,y).

Resposta

O campo não é conservativo e não há função potencial.

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