Sejam
dois campos vetoriais e
um campo escalar. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade do cálculo vetorial que relaciona divergente e produto escalar, a saber
O que vamos usar são as definições componentes de divergente e gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas cartesianas, seja
então
Pela definição,
Passo 3
Aplicamos a regra do produto a cada termo
:
Somando para
obtemos
Por definição de gradiente e divergente temos