Sejam F, G: U subset R^3 R^3 dois campos vetoriais e varphi: U R um campo escalar. Prove que:
div(varphi F)=varphi div F+grad varphi cdot F.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do cálculo vetorial que relaciona divergente e produto escalar, a saber
div(varphivec F);=;varphi,divvec F;+;gradvarphi;cdot;vec F
O que vamos usar são as definições componentes de divergente e gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas cartesianas, seja
vec F = (F1,F2,F3),
então
varphivec F = (varphi F1,;varphi F2,;varphi F3)
Pela definição,
div(varphivec F) =sumi=1^3partialpartial xi(varphi Fi)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a cada termo partialpartial xi(varphi Fi):
partialpartial xi(varphi Fi) =partialvarphipartial xi,Fi +varphi,partial Fipartial xi
Somando para i=1,2,3 obtemos
div(varphivec F) =sumi=1^3partialvarphipartial xiFi +varphisumi=1^3partial Fipartial xi
Por definição de gradiente e divergente temos
sumi=1^3partialvarphipartial xiFi =gradvarphicdotvec F, sumi=1^3partial Fipartial xi =divvec F

Resposta

div(varphivec F) =varphi,divvec F +gradvarphicdotvec F

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