Calcule o divergente do campo vetorial dado.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\vec{k}.
O que pede é calcular o divergente de \vec{F}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo tem apenas componente na direção z (componente k).
  • A função escalar presente depende de x,y,z apenas através de x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): o divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui F_x, F_y e F_z são as componentes do campo nas direções x,y,z, respectivamente.

Passo 3

Identificar as componentes do campo dado:
F_x=0,\qquad F_y=0,\qquad F_z=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=0+0+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Ou seja, basta calcular a derivada parcial de F_z em relação a z.

Passo 4

Para calcular \dfrac{\partial F_z}{\partial z} é útil fazer a substituição
u:=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad\text{então}\qquad F_z=f(u)\quad\text{com}\quad f(u)=u\,\operatorname{arctg}(u).ã
Usamos a regra do produto para f'(u):
f'(u)=\operatorname{arctg}(u)+u\cdot\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr).
Sabendo que \dfrac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr)=\dfrac{1}{1+u^{2}}, obtemos
f'(u)=\operatorname{arctg}(u)+\frac{u}{1+u^{2}}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para \dfrac{\partial F_z}{\partial z}=f'(u)\,\dfrac{\partial u}{\partial z}. Como
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2z,
temos
\frac{\partial F_z}{\partial z}=f'(u)\cdot 2z =2z\left(\operatorname{arctg}(u)+\frac{u}{1+u^{2}}\right).

Passo 5

Voltando à variável original u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, o divergente fica
\operatorname{div}\vec{F}(x,y,z)=2z\left(\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{1+\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}\right).
Uma observação rápida: se z=0 então o divergente vale 0, porque a dependência em z entra multiplicando 2z.

Resposta

\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}(x,y,z)=2z\left(\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{1+\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}\right)

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